直角三角形a^2+b^2=c^2整数解的定a公式直求法
庄 严
（中国辽阳 111000）
摘要：在直角三角形边长abc关系中，利用ab边条件求得第三边，这是人们的普遍做法。定a公式直求法的发现打破了人们的传统认识。利用定a公式直求法，在abc三边关系中，只要给定一个a值整数，就可求得另两边bc的整解关系。这种方法简单方便，易教易学，具有特殊的实用价值和理论义意。
关键词 平方整数解公式直求法 增元求解法
引言：a^2+b^2=c^2整数解性质，在2000多年前就已被发现。计算直角三角型形边长关系的勾股弦定理，体现了我国古代劳动人民的聪明智慧。近代有关费马大定理的的研究，也大多从a^2+b^2=c^2关系入手。
关于平方整数解的求法，古希腊数学家丢番图（Diophantna）给出的法则是√2ab为完全平方数时，可构造出a^2+b^2=c^2整解关系。这里的平方整数解受ab两个条件制约，而且这个理论也无法回答，当a为全体整数时，其a^2+b^2=c^2关系能否成立？现在利用定a公式直求法，只要一个a值条件，就可求得bc的整解关系。同时由公式直求法得出，当a为≥3的全体整数时，a^2+b^2=c^2 的整数解关系都成立。
一， 直角三角形a^2+b^2=c^2的a值奇偶数列法则：
定理1． 如a^2+b^2=c^2是直角三角形的三个整数边长，则必有如下a值的奇数列、偶数列关系成立；
（一） 直角三角形a^2+b^2=c^2奇数列a法则：
若a表为2n+1型奇数（n=1、2、3 …）， 则a为奇数列平方整数解的关系是：
a=2n+1
{ b= n^2+（n+1）^2-1
c= n^2+（n+1）^2
证：由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a^2+b^2=c^2关系成立，现将奇数列a法则条件代入勾股弦定理得到下式：
（2n+1）^2+（n^2+（n+1）^2-1）^2=（n^2+（n+1）^2）^2
化简后得到：
4n^4+8n^3+8n^2+4n+1=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1
即等式关系成立；
由法则条件分别取n=1、2、3 … 时得到了：
3^2+4^2=5^2
5^2+12^2=13^2
7^2+24^2=25^2
9^2+40^2=41^2
11^2+60^2=61^2
13^2+84^2=85^2
…
故得到奇数列a法则成立
（二） 直角三角形a^2+b^2=c^2的偶数列a法则：
若a表为2n型偶数（n=2、3、4…）， 则a为偶数列平方整数解的关系是：
a= 2n
{ b= n^2 -1
c= n^2+1
证：由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a^2+b^2=c^2关系成立，现将偶数列a法则条件代入勾股弦定理得到下式：
（2n）^2+（n^2-1）^2=（n^2+1）^2
化简后得到：
n^4+2n^2+1= n^4+2n^2+1
即等式关系成立；
（这里需要说明，当取n=1时，有b= n2 –1=1-1=0，此时失去三角形意义，故只能取n=2、3、4…）
由法则条件分别取n=2、3、4 … 时得到了：
4^2+3^2=5^2
6^2+8^2=10^2
8^2+15^2=17^2
10^2+24^2=26^2
12^2+35^2=37^2
14^2+48^2=50^2
…
故得到偶数列a关系成立
故定理1关系成立
由定理1得出，当a为≥3的全体整数时， a^2+b^2=c^2的整数解关系都成立。