hdu 1153 magic bitstrings
题目大意
一个质数p,现在让你求一个p-1长度的“01魔法串”。关于这个魔法串是这么定义的:
我们现在把这个串经过一段处理变成一个长宽均为p-1的矩阵,对于第i行的串,是由原来的串按每i位取得的。如果这个矩阵每行的串满足:和原来的串相等或是原来的串按位取反,我们就称这个串是魔法串。(说了一大堆如果还没看懂就去问题底下的Discuss看吧….)
题解
一开始热衷于讨论第一行和最后一行的关系…结果什么也没看出来…后来看了别人的题解,才发现自己有多蠢。
我们把前两行先写出来:
Column1 | Column2 | … | Columnp−1 |
---|---|---|---|
a1.mod.p | a2.mod.p | … | ap−1 |
a2.mod.p | a4.mod.p | … | a[2∗(p−1)].mod.p |
我们可以看到,讨论表格前两列的话 a1.mod.p 和 a2.mod.p 如果相等,那么 a2.mod.p 和 a4.mod.p 一定也相等,所以我们得到 a1.mod.p 和 a4.mod.p 相等;而如果 a1.mod.p 和 a2.mod.p 不相等的话,我们同样推出 a1.mod.p 和 a4.mod.p 相等,所以 a1.mod.p 和 a4.mod.p 一定是相等的。
同理可以得到 a1.mod.p 和 a9.mod.p 相等、 a1.mod.p 和 a16.mod.p 相等…..所以我们得出一个结论: ai2.mod.p 都是相等的,其余各项也都是相等的。
为了字典序最小,我们把所有 ai2.mod.p 置为0,其余各项置为1,除了2以外,对于所有的质数都是有解的。
把矩阵列出来
a[1%n], a[2%n], a[3%n], ..., a[n-1] (1)
a[2%n], a[4%n], a[6%n], ..., a[2(n-1)%n] (2)
a[3%n], a[6%n], a[9%n], ..., a[3(n-1)%n] (3)
...
比较 (1), (2)
发现:
如果 a[1%n] != a[2%n],那么 a[2%n] != a[4%n],那么 a[1%n] == a[4%n];
如果 a[1%n] == a[2%n],那么 a[2%n] == a[4%n],那么 a[1%n] == a[4%n]。
所以 a[1%n] == a[4%n]
同样的方法得到:
a[1%n] == a[9%n],
a[1%n] == a[16%n],
....
所有下标是 i 平方 mod n 都相等。
下标不是 i 平方 mod n 都相等。
为了字典顺序最小,并且避免整个数列都是同一个数(题目要求 non-constant),令 a[1%n] = a[4%n] = a[9%n] = ... = 0,其他数都是 1,这样符合题意。
#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> #define LL long long using namespace std; LL p; bool flag[1000005]; int main() { while(scanf("%I64d",&p),p!=0) { memset(flag,0,sizeof(flag)); if (p==2) { printf("Impossible "); continue; } for (LL i=1;i<p;i++) flag[(i*i)%p]=1; for (int i=1;i<p;i++) printf("%d",!flag[i]); printf(" "); } return 0; }
#include <iostream> #include <iterator> #include <algorithm> #include <vector> int main () { long long p; while ((std::cin >> p) && p) { if (p == 2) { std::cout << "Impossible "; continue; } std::vector <int> v (p, 1); for (long long i=1; i<p; ++i) { v [i * i % p] = 0; } std::copy (v.begin() + 1, v.end(), std::ostream_iterator <int> (std::cout)); std::cout << " "; } return 0; }