二分图的最大匹配算法简析

 

　　资料来源： Snow_storm 学长。

 

　　有这么两个奇怪的工厂：工厂X只生产杯具，工厂Y只生产洗具 。最近，两个工厂决定将产品实行打包策略：即一个杯具搭配上一个洗具。但由于杯具和洗具的形状和功能各不相同，对于某个类别的杯具来说，只能搭配某些类型的洗具。现在，两个工厂的厂长大人想知道最多能成功的搭配多少对杯具与洗具。

　　类似于上面例子中提到的搭配问题，在图论中的有规范的名称：匹配。注意到，上面的例子中涉及到的物品只有两类（杯具与洗具），且问题只涉及杯具与洗具的匹配，我们把这种只涉及一种关系的匹配问题称为二分匹配问题。

 

　　现在，让我们理清一些概念。

　　二分图：若图G中的点可以分为X和Y两部分，且每部分内部无任何边相连，（可以想象一下，正常情况下是不会出现搞基的。）则称图G为二分图。

　　匹配：无公共点的边集合（可以想象一下结婚这个词汇）。

　　匹配数：边集中边的个数

　　最大匹配：匹配数最大的匹配。

　　如图1-1，展示的就是一个二分图：粗体线表示该二分图的一种匹配方式，不难发现，此时的匹配已经是最大匹配。

　　如何能得到一个二分图的最大匹配？运用简单的枚举：找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级，时间上通常无法承受。因此，需要寻求一种更加高效的算法。由此便引出了匈牙利算法（hungary），这个算法的名字很有趣，它是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出的。

　　在正式的讲这个算法之前，不妨想一想，还有什么办法可以比较快速的计算出二分图的最大匹配？没错，网络的最大流算法可以搞定：我们需要增加额外的源汇点S，T，则对于图 1-1我们很容易得到如图1-2所示的网络模型，图中所有的边容量都为1，粗体箭头表示流从该边经过：

　　由此，问题得到了等价的转换：最大匹配数=最大流。若采用sap算法计算最大流，则时间复杂度为O(V2E)，已经有了较高的效率。然则杀鸡焉用宰牛刀，实际上，我们没必要将问题复杂化，针对二分图的特殊性，我们可以采用效率更高，代码量更小的hungary算法解决。

　　由此，问题得到了等价的转换：最大匹配数=最大流。若采用sap算法计算最大流，则时间复杂度为O(V2E)，已经有了较高的效率。然则杀鸡焉用宰牛刀，实际上，我们没必要将问题复杂化，针对二分图的特殊性，我们可以采用效率更高，代码量更小的hungary算法解决。

1. 初始化匹配数cnt为1。
2. 在图中寻找增广路，若无法找到任何增广路，则执行4，否则执行3。
3. 将增广路的首尾两点设置为非未盖点，且将增广路上的边进行取反操作，cnt+1，执行2。
4. 算法结束，当前的cnt即为最大匹配数。

　　对于上面提到的方法，用图 1-3的具体计算来展示其实现的过程：

　　（红色粗体边，表示匹配边；黑色细体边，表示未匹配边。天蓝色的点表示未盖点；靛蓝色的点表示非未盖点。且设节点编号≥0）

　　初始时，match[]都设为-1。因为可以从任意点开始匹配，则不妨按照点的编号顺序开始。对于X1，可以找到Y2与之匹配，且令match[Y2]=X1。同样的，对于X2，可以找到Y3与之匹配，且令match[Y3]=X2。当验证X3时，会发现唯一能够与其匹配的点Y3已经被匹配过了，则尝试修改之前的匹配方案：可以找到X2还可以与Y2匹配，但是同样的match[Y2]=X1≠-1，于是再去寻找X1是否能有新的匹配；可以发现X1还可以与Y1匹配，且match[Y1]=-1，则令match[Y1]=X1，match[Y2]=X2，match[Y3]=X3。得到了最终的最大匹配数=3。

 

　　上面这段话描述的是算法具体的操作步骤，现在不妨从增广路的角度来考虑：初始时，所有的点都是未盖点，匹配数cnt=0；我们很容易找到一条增广路X1-Y2，进行取反操作后，边(X1,Y2)由非匹配边变成了匹配边，cnt+1=1，且X1，Y2变成了非未盖点；继续寻找，我们也很容易的找到了增广路X2-Y2，进行取反操作后，边(X2,Y3)由非匹配边变成了匹配边，cnt+1=2，且X2，Y3变成了非未盖点。最后，可以找到增广路X3-Y3-X2-Y2-X1-Y1，同样进行取反操作，累加匹配数：cnt+1=3，同时X1，Y1也变成了非未盖点。注意到此时图中已经不存在任何增广路了，即该图的最大匹配数为3。 

 

#define MAXN 500  //X部分的最大顶点数
#define MAXM 500  //Y部分的最大顶点数
#define _clr(x,y) memset(x,y,sizeof(x))

int n,m;

int match[MAXM]; //标记数组
int g[MAXN][MAXM]; //邻接矩阵

bool used[MAXM]; //判重

bool find(int k)  //dfs寻找增广路
{
    for(int i=1;i<m;i++)
    {
        if(g[k][i] && !used[i])
        {
            used[i]=true;
            if(match[i]==-1 || find(match[i]))
            {
                match[i]=k;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
} 

int hungary()
{
    int cnt=0;
    _clr(match,-1);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        _clr(used,0);
        if(find(i))
        {
            cnt++;
        }
    }
    return cnt;
}

 

以HDU2063为例： http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2063

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define N 505
int k, m, n;
int map[N][N], match[N];
bool used[N];

bool find (int x)
{
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        if (map[x][i] && !used[i])
        {
            used[i] = true;
            if (match[i]==-1 || find(match[i]))
            {
                match[i] = x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

void Hungary ()
{
    int cnt=0;
    memset (match, -1, sizeof match);
    for (int i=1; i<=m; i++)
    {
        memset (used, 0, sizeof used);
        if (find(i)) cnt++;
    }
    printf ("%d
",cnt);
}
int main()
{
    int a, b;
    while (~scanf ("%d",&k) && k)
    {
        memset (map, 0, sizeof map);
        scanf ("%d%d",&m, &n);
        while (k--)
        {
            scanf ("%d%d",&a, &b);
            map[a][b] = 1;
        }
        Hungary();
    }
    return 0;
}

资料来源：某位学长