算法竞赛模板 RMQ（计算区间最值）

①一维RMQ

(1) dp[i,j] 表示从第i个数起连续2^j个数中的（最大值min、最小值max、最大公约数gcd……），通过更改下列代码中的红色函数即可实现。

(2) b数组放置所需查询的数列。

const int MAX=305;
int dp[MAX][20];
int mm[MAX];
void initrmq(int n,int b[])
{
    mm[0]=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        mm[i]=((i&(i-1))==0)?mm[i-1]+1:mm[i-1];
        dp[i][0]=b[i];
    }
    for(int j=1;j<=mm[n];j++)
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
            dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
ll rmq(int x,int y)
{
    int k=mm[y-x+1];
    return max(dp[x][k],dp[y-(1<<k)+1][k]);
}

②二维RMQ

给定一个n*m矩阵，每次询问左上角(r1,c1)到右下角(r2,c2)的子矩形中的（最大值min、最小值max、最大公约数gcd……）并输出。如果每次所询问的四个角有符合条件的数，输出yes，否则输出no。

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX=305;
int val[MAX][MAX];
int dp[MAX][MAX][9][9];//最大值
int mm[MAX];
void initRMQ(int n,int m)//m*n的矩阵
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            dp[i][j][0][0]=val[i][j];
    for(int ii=0;ii<=mm[n];ii++)
        for(int jj=0;jj<=mm[m];jj++)
            if(ii+jj)
                for(int i=1;i+(1<<ii)-1<=n;i++)
                    for(int j=1;j+(1<<jj)-1<=m;j++)
                        if(ii)dp[i][j][ii][jj]=max(dp[i][j][ii-1][jj],dp[i+(1<<(ii-1))][j][ii-1][jj]);
                        else dp[i][j][ii][jj]=max(dp[i][j][ii][jj-1],dp[i][j+(1<<(jj-1))][ii][jj-1]);
}
int rmq(int x1,int y1,int x2,int y2)//所查询矩形区间内的最大值 左上角(x1,y1) -> 右上角(x2,y2) 
{
    int k1=mm[x2-x1+1];
    int k2=mm[y2-y1+1];
    x2=x2-(1<<k1)+1;
    y2=y2-(1<<k2)+1;
    return max(max(dp[x1][y1][k1][k2],dp[x1][y2][k1][k2]),max(dp[x2][y1][k1][k2],dp[x2][y2][k1][k2]));
}
int main()
{
    mm[0]=-1;
    for(int i=1;i<=MAX;i++)
        mm[i]=((i&(i-1))==0)?mm[i-1]+1:mm[i-1];
    int n,m,Q;
    int r1,c1,r2,c2;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)==2)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
                scanf("%d",&val[i][j]);
        initRMQ(n,m);
        scanf("%d",&Q);
        while(Q--)
        {
            scanf("%d%d%d%d",&r1,&c1,&r2,&c2);//左上角(r1,c1) -> 右上角(r2,c2) 
            if(r1>r2)swap(r1,r2);
            if(c1>c2)swap(c1,c2);
            int tmp=rmq(r1,c1,r2,c2);
            printf("%d ",tmp);
            if(tmp==val[r1][c1]||tmp==val[r1][c2]||tmp==val[r2][c1]||tmp==val[r2][c2])
                printf("yes
");
            else printf("no
");
        }
    }
    return 0;
}

③二维RMQ降维

给定一个n*n(n<=500)的矩阵（即是正方形)，每次询问以(x,y)为左上角，边长为s的正方形区域内的最大值。

dp[i][j][k]：以(i,j)为左上角，边长为2^k的正方形区域内的最大值。

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX=505;
int dp[MAX][MAX][10],mm[MAX],val[MAX][MAX];
void initrmq(int n)
{
    int lt,lb,rt,rb;
    for(int k=0;k<=mm[n];k++)
        for(int i=1;i+(1<<k)-1<=n;i++)
            for(int j=1;j+(1<<k)-1<=n;j++)
                if(k==0)
                    dp[i][j][k]=val[i][j];
                else
                {
                    lt=dp[i][j][k-1];                  //左上角
                    lb=dp[i+(1<<k-1)][j][k-1];         //左下角
                    rt=dp[i][j+(1<<k-1)][k-1];         //右上角
                    rb=dp[i+(1<<k-1)][j+(1<<k-1)][k-1];//右下角
                    dp[i][j][k]=max(max(lt,lb),max(rt,rb));
                }
}
int rmq(int x,int y,int s)
{
    if(s==1)return val[x][y];
    int k=mm[s];
    int lt=dp[x][y][k];
    int lb=dp[x+s-(1<<k)][y][k];
    int rt=dp[x][y+s-(1<<k)][k];
    int rb=dp[x+s-(1<<k)][y+s-(1<<k)][k];
    return max(max(lt,lb),max(rt,rb));
}
int main()
{
    int i,j,k,T;
    mm[0]=-1;
    for(i=1;i<=MAX;i++)
        mm[i]=((i&(i-1))==0)?mm[i-1]+1:mm[i-1];
    scanf("%d",&T);
    for(int cas=1;cas<=T;cas++)
    {
        int n,q;
        scanf("%d%d",&n,&q);
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=1;j<=n;j++)
                scanf("%d",&val[i][j]);
        initrmq(n);
        printf("Case %d:
",cas);
        while(q--)
        {
            int x,y,s;
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&s);
            printf("%d
",rmq(x,y,s));
        }
    }
    return 0;
}