数论初步与相关证明

本文初写于 2019-03-07 19:37:32
因为讲课需要，这一周先跳到数论这一章进行学习。
数论使我意识到数学分析真的是有用处的。

唯一分解定理，又名算数基本定理。表述：若一个自然数N不为质数，那么它一定可以分解成有限个质数的乘积，且有唯一等式N=(P_1^{a_1}P_2^{a_2}P_3^{a_3}......P_n^{a_n})，这里(P_1<P_2<P_3<......<P_n)均为质数，(a_i)均为整数。

欧几里德算法，又名辗转相除法，是求最大公约数的一种算法。具体操作是用较大数a对较小数b取余得c，用b对余数c取余得余数d，用c对d取余得e......当所得余数为0时，所用的除数即是最大公约数。

int gcd(int a,int b){//求最大公约数
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
	//刘汝佳说这里不必考虑栈溢出问题
}
int lcm(int a,int b){//求最小公倍数
	return a/gcd(a,b)*b;
	//先除再乘防止超出int
}

证明参考自悟道人生
假设：

1. m,n为整数
2. a,b分别是m除以n的商和余数，即m=na+b，即b=m-na。
3. gcd(m,n)表示m和n的最大公约数。

求证：gcd(m,n)=gcd(n,b)

先导知识：
整除性推论一：若a能被b整除(a=tb)，则如果k为正整数，则ka也能被b整除(ka=ktb)。
整除性推论二：若a能被c整除，b也能被c整除，则(a±b)也能被c整除。

证明：
设c=gcd(m,n) , d=gcd(n,b)
∵ c为m，n的最大公约数
∴ m，n整除c
又∵ 推论一
∴ na整除c
又∵ 推论二
∴ m-na整除c
又∵ b=m-na
∴ c被n，b整除
∴ c为n，b的公约数
又∵ d为n，b的最大公约数
∴ c ≤ d （结论一）
同理，
∵ d为n，b的最大公约数
∴ n，b整除d
又∵ 推论一
∴ na整除d
又∵ 推论二
∴ b+na整除d
又∵ m=na+b
∴ d被m，n整除
∴ d为m，n的公约数
又∵ c为m，n的最大公约数
∴ d ≤ c （结论二）
综上，c=d，即gcd(m,n)=gcd(n,b)

扩展欧几里德算法：何为扩展？一是，该算法保留了欧几里得算法的本质，可以求a与b的最大公约数。二是，已知a, b求解二元一次方程ax+by =gcd(a, b)的一组解（x，y）

ll exgcd(ll a,ll b,ll& x,ll& y){//在gcd基础上求了一组x和y
	if(!b){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	ll d=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=x*(a/b);
	return d;
}

证明参考自午夜阳光~
求证：存在整数 x , y 使得 gcd(a,b)=ax+by

证明：
当b=0时，gcd(a,b)=a，带入方程得x=1，y=0
当b≠0时，设(ax_1+by_1=gcd(a,b))
　　　　　　　　　　(=gcd(b,a\%b))
　　　　　　　　　　(=bx_2+(a\%b)y_2)
∵ (a\%b=a-lfloorfrac ab floor b)
∴ (ax_1+by_1=bx_2+(a-lfloorfrac ab floor b)y_2)
(=bx_2+ay_2-lfloorfrac ab floor by_2)
(=ay_2+b(x_2-lfloorfrac ab floor y_2))
∴ (x_1=y_2) , (y_1=x_2-lfloorfrac ab floor y_2)

应用：
1.求解ax+by=c形式的不定方程
(1)前导知识：求解ax+by=gcd(a,b)形式的不定方程

已求得ax+by=gcd(a,b)的任意一组解x0和y0，则有：
x = x0 + b/(a,b)*k (k∈Z)
y = y0 - a/(a,b)*k (k∈Z)

证明：
任取另外一组解(x1,,y1),则有ax0+by0=gcd(a,b)=ax1+by1
变形得a(x0-x1)=b(y1-y0)
设g=gcd(a,b)，a1=a/g，b1=b/g，则有a1(x0-x1)=b1(y1-y0)
因为g≥0，所以a1与b1互素，所以可以设(y1-y0)=ka1，(x0-x1)=kb1
所以有y1-y0=ka1=ka/g => y1=y0+ka/g
同理有x0-x1=kb1=kb/g => x1=x0-kb/g
(因为k∈Z，所以+-号同时变更后这俩等式与定义中等式相同)

(2)推广来求ax+by=c形式的不定方程
设a,b,c均为整数，g=gcd(a,b)，先求得ax+by=g的一组解(x0,y0)，则当c为g的倍数时ax+by=c的一组解为(cx0/g,cy0/g)，再利用(1)中所推导的两公式求得其他解；当c不是g的倍数时则无解

埃氏筛法：构造1~n的素数表

int m=sqrt(n+0.5);
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=2;i<=n;i++) 
	if(!vis[i])
		for(int j=i*i;j<=n;j++) //i*i之前的数已经在i更小时遍历过
			vis[i]=1;

大约十个数里有一个素数。

欧拉筛法：筛选合数时，保证每个合数只会被它的最小质因数筛去。所以每个数只会被检查一遍，算法时间复杂度降到O(n)

const int maxn=1000;
bool number[maxn+5];
int prime[maxn+5];
void isprime(){
	int i,j,cnt=0;
	memset(number,true,sizeof(number));
	memset(prime,0,sizeof(prime));
	for(int i=2;i<=maxn;i++){
		if(number[i]) prime[cnt++]=i;
		for(j=0;j<cnt&&prime[j]*i<=maxn;j++){
			number[prime[j]*i]=false;
			if(i%prime[j]==0) break; 
			//保证每个合数只会被它的最小质因数筛去
			//因此每个数只会被标记一次
 		}
	}
}

对if (i % prime[j] == 0)的理解:
∵ i % prime[j] == 0
∴ i为prime[j]的合数
∴ i * 其他数 也为prime[j]的合数
∴ i * prime[j+1],prime[j+2].....prime[j+n]结果也为prime[j]的合数
∴ i % prime[j] == 0时break

快速幂取模：在快速幂的基础上添加了取模的功能

long long pow_mod(long long a,long long b,long long c){
	long long ans=1;
	while(b){
		if(b&1) ans=(ans*a)%c;
		a=a*a%c;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}