二叉树中节点的最大的距离（编程之美3.8）

问题定义

把二叉树看成一个图，父子节点之间的连线看成是双向的，定义“距离”为两个节点之间的边数。例如下图中最大距离为红线的条数为6.

分析

定义：过以节点x作为根节点的子树中，节点间的最大距离为Dis(x)。

上图，左图中Dis(根节点)最大，右图中Dis(根节点->left)最大。从上边可以看出每个节点都可能成为最大距离根节点的潜质。

因此可以求出每个Dis(节点)，从中得出最大值即为整个二叉树的根节点最大值。

在求过点x的最大距离时，最大距离的两个点有可能出现在三种情况下

1. 左子树
2. 右子树
3. 过节点x

经分析得出以下特点

1. 以上三种情况最终必定一叶子结束
2. 在第三种情况下必然是左子树高度 与 右子树高度 之和（只有这样，才可能取得最大值）

经过以上分析即可得出递推式

Dis(x) = max(Dis(x->left), Dis(x->right), height(x->left)+height(x->right))

参考代码

int treeDistance(BiTree root)
{
    if(root == NULL)
        return 0;
    else if(root->left == NULL && root->right == NULL)
        return 0;
    int dis = max(height(root->left) + height(root->right), treeDistance(root->left), treeDistance(root->right));
    if(maxDis < dis)
        maxDis = dis;
    return dis;
}

这里用了一个技巧：maxDis是个全局变量，递归一次根节点会遍历到每个节点，在这期间于maxDis比较，从而得出了最大值，而不需要额外的空间。
完整运行代码

#include<iostream>
using namespace std;
typedef struct BiTNode
{
    BiTNode *left;
    BiTNode *right;
}BiTNode, *BiTree;

int maxDis = 0;

void createTree(BiTree &root)
{
    BiTree left1 = new(BiTNode);
    BiTree right1 = new(BiTNode);
    
    left1->left = NULL;
    left1->right = NULL;
    right1->left = NULL;
    right1->right = NULL;

    root->left = left1;
    root->right = right1;


    BiTree left2 = new(BiTNode);
    left2->left = NULL;
    left2->right = NULL;
    BiTree right2 = new(BiTNode);
    right2->left = NULL;
    right2->right = NULL;
    left1->left = left2;
    left1->right = right2;

    BiTree left3 = new(BiTNode);
    left3->left = NULL;
    left3->right = NULL;
    BiTree right3 = new(BiTNode);
    right3->left = NULL;
    right3->right = NULL;
    left2->left = left3;
    left2->right = right3;
}

void deleteTree(BiTree root)
{
    if(root)
    {
        deleteTree(root->left);
        deleteTree(root->right);
        delete(root);
        root = NULL;
    }
}

int height(BiTree root)
{
    if(root == NULL)
        return 0;
    else
        return height(root->left) > height(root->right) ? height(root->left) + 1 : height(root->right) + 1;
}

int max(int a, int b, int c)
{
    int tmp = a > b ? a : b;
    return tmp > c ? tmp : c;
}

int treeDistance(BiTree root)
{
    if(root == NULL)
        return 0;
    else if(root->left == NULL && root->right == NULL)
        return 0;
    int dis = max(height(root->left) + height(root->right), treeDistance(root->left), treeDistance(root->right));
    if(maxDis < dis)
        maxDis = dis;
    return dis;
}

int main()
{
    BiTree root = new(BiTNode);
    root->right = root->left = NULL;
    createTree(root);    
    cout << "height:" << height(root) << endl;
    cout << "treeDistance:" << treeDistance(root) << endl;
    cout << "_____________________" << endl;
    deleteTree(root);
}

结果
4