jzoj 6272. 2019.8.4【NOIP提高组A】整除 (division)

Description

详见OJ

Solution

先想到了50分暴力，又想到了对于每个质数分开求答案，最后相乘，结果打挂。
正解根据中国剩余定理，可以对于每个质数分开求。
((x^m-x))%(n=0)
由于(n)有多个不同的质数组成，所以我们可以用中国剩余定理来分解成(c)个方程。
然后得到(x^m-x≡0(mod~p))（(c)个方程）
我们对于每个都用50分暴力来求，最后答案乘起来即可。
时间(O(T*c*t*logm))，80分。
由于有个(log)，我们考虑优化。
根据积性筛（欧拉筛），我们可以接近(O(n))求出(1)~(n)的(m)次方，在%(n)的意义下。
质数直接用(ksm)求出(x^m)，而合数则可以用其质数(y)的值和(x/y)的值相乘求出。
这样消去(log)，可以AC了。
有人用(O(c×logpi))的时间过了这题。
在线%%%dalao

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 51
#define ll long long
#define mo 998244353
#define mem(x, a) memset(x, a, sizeof x)
#define fo(x, a, b) for (int x = a; x <= b; x++)
#define fd(x, a, b) for (int x = a; x >= b; x--)
using namespace std;
int id, T, c, m, n, ans, s1;
int kz[10010], phi[N], pri[10010];

inline int read()
{
	int x = 0; char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9') x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48), c = getchar();
	return x;
}

int ksm(int x, int y)
{
	int s = 1;
	while (y)
	{
		if (y & 1) s = s * x % n;
		x = x * x % n; y >>= 1;
	}
	return s;
}

int main()
{
	freopen("division.in", "r", stdin);
	freopen("division.out", "w", stdout);
	id = read();
	T = read();
	while (T--)
	{
		c = read(), m = read();
		fo(i, 1, c) phi[i] = read();
		ans = 1;
		fo(i, 1, c)
		{
			s1 = 1; n = phi[i];
			fo(ii, 2, n) kz[ii] = 0;
			pri[0] = 0;
			fo(ii, 2, n)
			{
				if (! kz[ii]) kz[ii] = ksm(ii, m), pri[++pri[0]] = ii;
				for (int j = 1; pri[j] * ii <= n; j++)
				{
					kz[pri[j] * ii] = kz[pri[j]] * kz[ii] % n;
					if (ii % pri[j] == 0) break;
				}
				if (kz[ii] == ii % n) s1++;
			}
			ans = (ll)ans * s1 % mo;
		}
		printf("%d
", ans);
	}
	return 0;
}