jzoj 2184. 羊羊列队

Description

有n个人，要分成m个班，每个班至少1人。每班贡献为((max-min)^2)，求最小贡献值。
(1<=N<=10000,1<=M<=1000，1<=Ai<=1000000)

Solution

很容易想到(DP)。
由于我们要使贡献最小，所以我们不妨将它排序，然后每次取连续的一段，这样可以保证值最小。
这题由于要刚好分成(m)个班，所以我们必须要多设一维(DP)。
设(f[i][j])表示到第(i)个人，往前分了(j)个班的最小贡献。
很容易得到转移方程：

[f[i][j] = min(f[k][j - 1] + (a[i] - a[k + 1])^2) ]

时间为(O(n^2m))，过不了，所以我们考虑优化。
斜率优化即可。

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 10010
#define M 1010
#define mem(x, a) memset(x, a, sizeof x)
#define fo(x, a, b) for (int x = a; x <= b; x++)
using namespace std;
int n, m, a[N], f[N][M], g[N], l = 1, len = 0;

inline int read()
{
	int x = 0; char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9') x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48), c = getchar();
	return x;
}

int sqr(int x) {return x * x;}

int left(int x, int y, int k) {return f[x][k] - f[y][k] + sqr(a[x + 1]) - sqr(a[y + 1]);}

int right(int x, int y) {return 2ll * (a[x + 1] - a[y + 1]);}

int main()
{
	freopen("queue.in", "r", stdin);
	freopen("queue.out", "w", stdout);
	n = read(), m = read();
	fo(i, 1, n) a[i] = read();
	sort(a + 1, a + n + 1);
	mem(f, 10); 
	fo(i, 1, n) f[i][1] = sqr(a[i] - a[1]);
	fo(j, 2, m)
	{
		f[j][j] = 0;
		g[l = 1] = j - 1, g[len = 2] = j;
		fo(i, j + 1, n)
		{
			while (l < len && left(g[l], g[l + 1], j - 1) > right(g[l], g[l + 1]) * a[i]) l++;
			f[i][j] = f[g[l]][j - 1] + sqr(a[i] - a[g[l] + 1]);
			while (l < len && left(g[len - 1], g[len], j - 1) * right(g[len], i) >= left(g[len], i, j - 1) * right(g[len - 1], g[len])) len--;
			g[++len] = i;
		}
	}
	printf("%d
", f[n][m]);
	return 0;
}

2019.8.4 update

这题可以用凸优化来弄。(O(nlogn))
凸优化：对于每一次的选取加一个(K)的代价。
显然，(K)越大分成的组数越小，反之越大。
所以，我们可以二分(K)，最后答案便是(f[n]-m*K)

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 10010
#define M 1010
#define mem(x, a) memset(x, a, sizeof x)
#define fo(x, a, b) for (int x = a; x <= b; x++)
using namespace std;
int n, m, a[N], f[N][2], g[N], l = 1, len = 0;

inline int read()
{
	int x = 0; char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9') x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48), c = getchar();
	return x;
}

int sqr(int x) {return x * x;}

int left(int x, int y) {return f[x][0] - f[y][0] + sqr(a[x + 1]) - sqr(a[y + 1]);}

int right(int x, int y) {return 2ll * (a[x + 1] - a[y + 1]);}

void check(int x)
{
	f[0][0] = 0, f[0][1] = 0;
	g[l = len = 1] = 0;
	fo(i, 1, n)
	{
		while (l < len && left(g[l], g[l + 1]) > right(g[l], g[l + 1]) * a[i]) l++;
		f[i][0] = f[g[l]][0] + sqr(a[i] - a[g[l] + 1]) + x;
		f[i][1] = f[g[l]][1] + 1;
		while (l < len && left(g[len - 1], g[len]) * right(g[len], i) >= left(g[len], i) * right(g[len - 1], g[len])) len--;
		g[++len] = i;
	}
}

int main()
{
	freopen("queue.in", "r", stdin);
	freopen("queue.out", "w", stdout);
	n = read(), m = read();
	fo(i, 1, n) a[i] = read();
	sort(a + 1, a + n + 1);
	int l = 0, r = 1000000, mid, K;
	while (l <= r)
	{
		mid = l + r >> 1;
		check(mid);
		if (f[n][1] == m) break;
		if (f[n][1] < m) r = mid - 1;
		else l = mid + 1;
	}
	printf("%d
", f[n][0] - mid * m);
	return 0;
}