欧拉数学习小记

参考资料：

https://www.luogu.com.cn/blog/Karry5307/eulerian-numbers

https://www.cnblogs.com/mengnan/p/9307521.html

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欧拉数：(langleegin{matrix}n\ kend{matrix} angle)（为了方便编辑记作(E(n,k))），表示：有多少个长度为(n)的排列(p)，满足(sum_i [p_i<p_{i+1}]=k)，即相邻上升个数为(k)。

【一些性质】

递推式：(E(n,k)=(k+1)E(n-1,k)+(n-k)E(n-1,k-1))

考虑从(n-1)转移到(n)，新增的(n)插到哪里：

1. (n)插到末尾，相邻上升个数加一。
2. (n)插到开头，相邻上升个数不变。
3. (n)插到原来(p_i<p_{i+1})的之间，相邻上升个数不变。
4. (n)插到原来(p_i>p_{i+1})的之间，相邻上升个数加一。

综合起来可得递推式。

对称性：(E(n,k)=E(n,n-k-1))（如果(n>0)）

显然任意排列({p_i})与({n-p_{i}+1})一一对应，而且两者相邻上升个数总和为(n-1)。

通项1：(E(n,k)=sum_{i=k}^{n-1}inom{i}{k}(-1)^{i-k}(n-i)!S(n,n-i))。其中(S)为第二类斯特林数。

考虑相邻上升个数至少为(k)如何计算，记为(F(n,k))。也就是把(n)个数分成(n-k)个集合，对这(n-k)个集合进行排列。同一个集合的连在一起，并且排好序。于是(F(n,k)=(n-i)!S(n,n-i))。

由于(F(n,k)=sum_{i=k}^{n-1} inom{i}{k}E(n,k))，反演得(E(n,k)=sum_{i=k}^{n-1}inom{i}{k}(-1)^{i-k}F(n,i))。

通项2：(E(n,k)=(-1)^{n-k}sum_{i=0}^{n-k}(-1)^ii^ninom{n+1}{k+i+1})

在通项1中，代入第二类斯特林数通项(S(n,k)=frac{1}{k!}sum_{i=0}^kinom{k}{i}(-1)^{k-i}i^n)。

通过一些基础的组合数技巧可以得到通项2。

通项3：(E(n,k)=sum_{i=0}^k(-1)^i(k+1-i)^ninom{n+1}{i})

由于(E(n,k)=E(n,n-k-1))，把(E(n,n-k-1))代入通项2得到(E(n,k)=sum_{i=0}^{k+1}(-1)^i(k+1-i)^ninom{n+1}{i})

如果(n>0)，则枚举边界(0dots k+1)可以改为(0dots k)。

如果(n=0)，不满足对称性。不过这时候发现把枚举边界(0dots k+1)改为(0dots k)恰好为正确答案。

所以(E(n,k)=sum_{i=0}^k(-1)^i(k+1-i)^ninom{n+1}{i})

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【Worpitzky 恒等式】：(x^n=sum_kE(n,k)inom{x+k}{n})。

首先有(xinom{x+k}{n}=(k+1)inom{x+k}{n+1}+(n-k)inom{x+k+1}{n+1})。展开即可证明。

现在证明(xx^n=sum_kE(n,k)xinom{x+k}{n})等于(x^{n+1}=sum_{k}E(n+1,k)inom{x+k}{n+1})。

左边展开(xinom{x+k}{n})，右边展开(E(n+1,k))，化一下式子即可证明。

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【求一行】：即求(n)相同的(E(n,k))。

套用通项3：

(E(n,k)=sum_{i=0}^k(-1)^i(k+1-i)^ninom{n+1}{i}=(sum_{i}(-1)^iinom{n+1}x^i)(sum_{i+1}^nx^i)[x^k])

套用通项1：

[E(n,k)=E(n,n-1-k)\=sum_{i=0}^kinom{n-1-i}{n-1-k}(-1)^{k-i}(i+1)!S(n,i+1)\=frac{1}{(n-1-k)!}(sum_i(n-1-i)!(i+1)!S(n,i+1)x^i)(sum_ifrac{(-1)^i}{i!}x^i)[x^k] ]

【求一列】：即求(k)相同的(E(n,k))。

套用通项2：

(E(n,k)=(-1)^{n-k}sum_{i=0}^{n-k}(-1)^ii^ninom{n+1}{k+i+1}=(-1)^{n-k}(n+1)!(sum_ifrac{(-1)^ii^n}{(k+i+1)!}x^i)(sum_{i}frac{1}{i!}x^i)[x^{n-k}])