不学这个定理，真是亏死了……
见到那种对称（循环）的计数题都不知道该怎么做……
先表明一下，本人没有群论基础。
所以，有关群论的概念，我只会提“置换”。
对于初学者来说，这可能是更加容易理解的方法吧。
更加严谨的网上博客一大堆。
例子
给你一个长度为(n)的环，有(m)种颜色，每个点可以染成任意颜色。
循环同构的环算是同一种方案（为方便讨论就先不考虑翻转）。
问有多少种方案。
以下以这个例子作为说明。
Burnside引理
首先，对于某种状态，看看它进行哪些置换之后会变成某种跟它循环同构的状态。
比如说，在这题中，转(0)下，转(1)下……转(n-1)下，总共可以写出(n)种置换。
后面给这些置换都分配一个下标。
接下来介绍不动点：对于置换(k)，假如某个状态经过了置换(k)的操作后变成的状态和前面的是一样的，那就是一个不动点。
更加形象的理解：将每个状态都视为一个点，每个点向进行了置换(k)之后到达的状态连边。于是形成了由若干个环形成的图。那么所有的自环都是不动点。
设置换(k)的不动点为(c(k))，那么不重不漏的方案数就是(frac{1}{|G|}sum_{kin G}c(k))
其中(G)表示置换的集合。
以下给出在这个例子中的证明，加深一下理解（可能不是很严谨）：
在置换(k)中，假如某种方案最小正周期为(x)，如果(x|k)，则会被计算(x)次。
对于一个最小正周期为(x)的方案，在统计循环节为(ix)的时候计算(x)次，其中(iin[0,frac{n}{x}))，所以它一共被计算(n)次。
Polya定理
gmh说Burnside引理和Polya定理之间是马克思和列宁之间的关系……
这个东西是在Burnside的基础上搞出来的具体计算方法。
现在建另一个图：对于置换(k)，某个点(i)连向(p_i)（即置换之后到达的位置，在例子中是((i+k)mod n)）
这样形成的图也是个由若干个环组成的图。
作为一个不动点的状态，它在这个图上有什么性质呢？
可以发现，如果每个环，环内的颜色分别相同，那么它就是个不动点。
于是不动点的个数为(m^{sigma (k)})，其中(sigma(k))表示置换(k)通过这种方法建出来的图的环数。
式子就出来了：(frac{1}{|G|}sum_{kin G}m^{sigma(k)})
在例子中，(sigma(k)=gcd(n,k))。原因你猜
问题变成了：(frac{1}{n}sum_{k=0}^{n-1}m^{gcd(n,k)})
至于后面怎么做，枚举(gcd(n,k))，套个反演之类的东西，应该就差不多了。。