PCA revisit

都知道PCA可以做降维，那它为什么可以降维，究竟是怎么降维的呢？

1. 为什么我们要降维？

我们的样本数据好好的，为什么要去做降维，第一个要想清楚这个问题。

• 也许你是要训练一个分类器，觉得当前特征维度的太高，想去除冗余的维度，选择有区分性的维度
• 也许你是觉得维度太高，导致系统速度慢，存储开销大
• 也许你是觉得数据里面有噪声，想去除噪声

总之很多原因导致我们要去做降维，但是有两个主要的因素，就是去除数据里的冗余和噪声。

2. PCA是怎么去做降维的，怎么去除冗余和噪声的？

PCA有一个假设，数据中越是有区分度的维度，他的方差越大，例如我们的信号本身。越是没有区分度的维度，方差越小能量越小，例如噪声；

另外，如果两个维度相关性很高，那么其中一个维度就是冗余的，对于学习分类器没有很大的帮助，例如一个大学生的成绩里面，他的线性代数的成绩，和他的矩阵分析的成绩这两个相关性就很高，分类器只需要其中的一个来判断这个学生是工科生还是文科生。

综合以上两点，我们降维之后的数据一定要每个维度的方差大，同时维度之间的相关性小。

如何描述方差和相关性，有一个东西可以同时描述他们两——协方差矩阵！

协方差矩阵是一个方阵，i，j列表示样本的第 i 维和第 j 维之间的相关性 ( i = j 时描述的是第 i 维的方差)。

因此，理想的协方差矩阵的对角线应该是很大的值，而非对角线的位置都接近于0，这样才能保证方差大，相关性小呀！

如果当前样本的协方差矩阵已经是对角矩阵了，那我们就不用做PCA降维了，因为他们的特性已经很好了！很不幸，我们的数据通常都不是那么好，协方差矩阵不是理想的样子，很可能相关性很大。那么很明确，我们要做的就是使得降维之后的数据协方差矩阵是对角矩阵。

那么就要做矩阵对角化呗，什么方法可以得到对角矩阵，这个就是特征值分解，

A = P * B * P(T)    （1）

B就是对角化的矩阵，A是原协方差矩阵，而我们知道B对角线上都是特征值，P里面都是对应的特征向量。如果我们降维之后的协方差矩阵张成B这个样就好了！

说到这里，协方差矩阵的公式还没提呢。

C = S(T) * S / (m - 1)； （2）

C是协方差矩阵, S是m * d的样本数据矩阵，代表我们有m个样本，每个样本的维度是d。

那么当前有 

A = S(T) * S / (m - 1)；（3）

我们想要的是 

B = S’(T) * S’ / (m - 1)；（4）

S’就是我们降维之后的样本数据。 我们把公式(1) A = P * B * P(T)，变一个样子就是 P(T) * A * P = B; 结合式子（3），于是乎 

B = P(T) * A * P = P(T) * S(T) * S * P / (m - 1) =  (SP)(T) * (SP) / (m - 1)；再结合式子（4）

SP不就是我们想要的降维之后的数据S'吗？这里，如果把P中的特征向量去掉几个特征值低的，那么不仅选出了方差大的数据，还去除了冗余。因此，PCA就达到了目的了。

3. 总结

所以降维的公式也出来了， S’ = S * P，P是特征值大的维度对应的特征向量。

这是今天看完PCA之后的一点小总结，关于如何做特征值分解，今天也看了许久，感觉要补充的矩阵只是还是很有一些的。

贴一下http://mathfaculty.fullerton.edu/mathews/n2003/QRMethodMod.html 提到的用QR method来做特征值分解的伪代码。

QR Algorithm.  The pseudocode for the QR method is:

        1.  i = 0  
        2.      
        3.  repeat  
        4.       Factor    
        5.            
        6.            i = i+1  
        7.  until convergence 

迭代的方式用QR分解来求特征值。这都是题外话了！

总之，我们需要理解PCA为什么能用协方差矩阵做特征值分解来求解，为什么这样做降维的结果就是好的结果，认真理解了才能更有效地使用它 。