[Note]线性基

写在前面

• 本文是博主学习线性基时的笔记，主要参考了sengxian、menci和ljh2000的博客，并加入了一些本人的思考。转载请注明出处。

概念引入

• 在线性代数中，基$(basis)$是用来描述向量空间的基本工具。在$OI/ACM$中的题目中，利用基在异或空间中的特殊性质来解决问题，这类问题被称为线性基。

预备知识

向量空间

• 向量空间( vector space )$(F,V,+,cdot )$，其中：$F$为域，$V$为集合，$V$中元素称为向量，$+$为向量加法，$cdot $为标量乘法，且运算满足$8$条公理。

线性相关&线性无关

• 对于向量空间中$V$上$n$个元素的向量组$(vec{v_1}, vec{v_2}, ..., vec{v_n})$，若存在不全为$0$的$n$个数$a_iin F$满足$sum _{i=1} ^{n} a_i vec{v_i} = a_1vec{v_1} +a_2vec{v_2} +...+a_nvec{v_n}=vec{0}$，则称这$n$个向量线性相关( linearly dependent )，否则称为线性无关( linearly independent )。

线性组合

• 线性组合( linear combination )即判断线性相关时的那个和式。换句话说，一组向量线性无关$Leftrightarrow $其中任意向量都不能用其他向量的线性组合表示。

张成

• 对于向量空间中$V$上$n$个元素的向量组$(vec{v_1}, vec{v_2}, ..., vec{v_n})$，其所有线性组合所构成的集合称为$(vec{v_1}, vec{v_2}, ..., vec{v_n})$的张成( span )，记为$span(vec{v_1}, vec{v_2}, ..., vec{v_n})$。

基

• 若向量空间中$V$中的向量组$B$既线性无关，又可以张成$V$，则称为$V$的基( basis )。其中：$B$中元素称为基向量，若基中元素个数有限，则称该向量空间为有限向量空间，基元素个数为该向量空间的维度。

性质

• 若$B$是向量空间中$V$的基，则$B$具有以下性质：

1. $B$是极小的能张成$V$的集合，它的任何真子集都不可能再是基；
2. $V$中任意元素都可以唯一表示为$B$中若干元素的线性组合。

OI/ACM中的线性基

定义

• 在$OI/ACM$中的线性基通常特指异或运算下的基，即：
  对于数$a_1, a_2, ..., a_n$，把$a_i$表示成二进制${(b_m b_{m-1} ... b_1)}_2$并看作一个向量$vec{a_i}=(b_m,b_{m-1},...,b_1)$。由向量组$a_1,a_2,...,a_n$的张成，加上异或运算和乘法运算，便形成了一个向量空间$V=({0,1 }, span(vec{a_1},vec{a_2},...,vec{a_n}),otimes,cdot)$。下面我们要求的线性基就是这个向量空间$V$的基。
• 为简化，我们称该集合为$S$，其中最大数在二进制下有$L$位，用一个$[0...L]$的数组$a$来储存线性基。

性质

1. 线性基的异或集合中不存在$0$。
2. 线性基的异或集合中每个元素的异或方案唯一。
3. 线性基中每个数二进制最高位互不相同。
4. 线性基的异或集合为$[1,2^L-1]$。
5. 线性基矩阵的半三角性：

• 若$a_i$的第$i$位为$0$，则只有满足$j>i$的$a_j$的第$i$位可能为$1$；
• 若$a_i$的第$i$位为$1$，则$a_i$更高的二进制位都为$0$。

维护

插入

• 逆序枚举$t$中所有为$1$的二进制位$j=L ightarrow 0$：
• 若$a_j eq 0$，则令$t=t otimes a_j$；
• 若$a_j = 0$，则：
• 枚举$k in [0,j)$，若$t$的第$k$位为$1$，则令$t=t otimes a_k$
• 枚举$k in (j,L]$，若$a_k$的第$j$位为$1$，则令$a_k=a_k otimes t$
• 令$a_j=t$，结束。
• 时间复杂度：$Theta (logspace t)$。

struct LinearBasis {
    ll a[L + 1];
    LinearBasis() {
        std::fill(a, a + L + 1, 0);
    }
    void insert(ll t) {
        for (int j = L; j >= 0; j--) {
            if (!(t & (1ll << j))) continue;
            if (a[j]) t ^= a[j];
            else {
                for (int k = 0; k < j; k++) if (t & (1ll << k)) t ^= a[k];
                for (int k = j + 1; k <= L; k++) if (a[k] & (1ll << j)) a[k] ^= t;
                a[j] = t;
                return;
            }
        }
    }
};

合并

• 两个线性基合并的过程就是将一个线性基暴力插入另一个线性基。
• 代码如下：

void mergeFrom(const LinearBasis &other) {
    for (int i = 0; i <= L; i++) insert(other.a[i]);
}

查询

最大值

• 即所有线性基的异或和。

最小值

• 即最低位的线性基。

例题

1. SGU275 最大异或和
   题意：给定$n(1leq n leq 10^5)$个数，求它们的异或和最大是多少。
   分析：求出这$n$个数的线性基，答案是将所有线性基中所有数异或起来。

2. HDU3949 子集$k$大异或和
   题意：给定$n(1leq n leq 10^4)$个数和$q(1leq q leq 10^4)$个询问$k$，每次求所有异或和中第$k$小的数。
   分析：根据线性基的性质，任意非空子集的异或和都不重复。假设线性基$m$个数中第$0...m$位为$1$的数依次为$(a_0,a_1,...,a_m)$，$k={(b_xb_{x-1}...b_0)}_2$，不难用二进制的思想证明最终结果为$otimes_{0leq ileq x}b_icdot a_i$。

3. BZOJ2115 最大路径异或和
   题意：给定$n(1leq n leq 50000)$个点$m(1leq m leq 10000)$条边的无向图，求一条从顶点$1$到$n$的路径（可重复经过点和边），使得路径上边权的异或和最大。
   分析：首先有一个常用技巧——任意一条$1$到$n$的路径的异或和，都可以由任意一条$1$到$n$的路径的异或和与图中一些环的异或和组合得到。
   然后通过$DFS$找到图中所有的环，和任意一条$1$到$n$的路径（异或值为$s$），我们的问题就变成了选择若干环，使得这些环的异或值与$s$异或起来最大。这就转化成了最大异或和问题。

总结

• 大多情况下，在$OI/ACM$中有关异或运算求最值/求和的问题，一般都会用到线性基。如果给定很多数，我们通过构造它们的线性基，通过互相之间异或，生成原来所有数的异或和集合，从而大大减少判断的时间和次数。
• 然后线性基和图论综合起来的话，常用的技巧就是：
• 任意一条$1$到$n$的路径的异或和，都可以由任意一条$1$到$n$的路径的异或和与图中一些环的异或和组合得到。