波的相干叠加

波的独立性和叠加性

几列波相遇于同一区域，只要振动不是十分强烈，各波可以保持各自的频率、振幅和振动方向等特性，按照本身原来的传播方向继续前进，彼此不受影响，这就是波的独立性。在相遇区域，总的振动是分振动的线性叠加。

两列或两列以上的波，如果波频率相等，在观测时间内波动不中断，而且在相遇处振动方向几乎沿同一直线，那么叠加后的合振动可能在某些地方加强，某些地方减弱，这种现象称为干涉。振动强度的分布称为干涉图样，或干涉花样。

干涉是波独有的行为，表明实物物体的运动与波动是完全不同的。两个运动的实物物体——比如两列火车——不可以毫不干扰地彼此穿越。

波的独立性和叠加性并不是总能成立的，当波的强度非常大时，独立性和叠加性可能会失效。

相干与不相干叠加

考虑频率相同，振动方向相同，具有恒定初始相位的两列波的叠加。设这两列波从空间两定点(S_1)和(S_2)发出，波源的振动可分别表示为

egin{equation*} psi_{01}=A_1cosleft (omega t+varphi_{01} ight) end{equation*}

egin{equation}
psi_{02}=A_2cosleft (omega t+varphi_{02} ight)
end{equation}

其中(varphi_{01})和(varphi_{02})分别是两波源振动的初相位。两列波同时到达空间一点(P)处，(P)点到两波源的距离分别是(r_1)和(r_2)，波速分别为(v_1)和(v_2)，如下图所示，

则(P)点处的振动为

egin{equation*} psi_1=A_1cosleft [omegaleft (t-frac{r_1}{v_1} ight)+varphi_{01} ight ]=A_1cosleft (omega t+varphi_{1} ight) end{equation*}

egin{equation}
psi_2=A_2cosleft [omegaleft (t-frac{r_2}{v_2} ight)+varphi_{02} ight ]=A_2cosleft (omega t+varphi_{2} ight)
end{equation}

其中(varphi_{1}=-omegafrac{r_1}{v_1}+varphi_{01})，(varphi_{2}=-omegafrac{r_2}{v_2}+varphi_{02})，为两个振动的相位。(P)点处的合振动是两振动的线性叠加：

egin{equation*} psi=psi_1+psi_2=Acos(omega t + varphi) end{equation*}

合振动的振幅和相位可由三角函数求得

egin{equation*} A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cos(varphi_2-varphi_1)=A_1^2+A_2^2+2A_1A_2cosDelta varphi end{equation*}

egin{equation}
an varphi=frac{A_1sinvarphi_1+A_2sinvarphi_2}{A_1cosvarphi_1+A_2cosvarphi_2}
end{equation}

以上结果也可以用几何法得到，并且更简便。如下图所示

振动的强度正比于振幅的平方，于是(P)点处振动强度为

egin{equation*} I=A^2=I_1+I_2+2sqrt{I_1I_2}cosDelta varphi end{equation*}

其中

egin{equation*} Delta varphi = omegaleft (frac{r_2}{v_2}-frac{r_1}{v_1} ight )-(varphi_{02}-varphi_{01}) end{equation*}

以上结果也可由复数法得到。合振动用复数表示为

egin{equation*} psi=(A_1e^{ivarphi_1}+A_2e^{ivarphi_2})e^{iomega t}=Ae^{iomega t} end{equation*}

(P)点处振动强度为

egin{equation*} egin{split} I&=|A|^2=(A_1e^{-ivarphi_1}+A_2e^{-ivarphi_2})(A_1e^{ivarphi_1}+A_2e^{ivarphi_2})\ &=I_1+I_2+2sqrt{I_1I_2}cosDelta varphi end{split} end{equation*}

可以看出，在一般情况下，合振动的强度不等于分振动强度之和，还取决于传播到该点的两个分振动的相位差(Delta varphi)。不同的(P)点处，强度随相位差做周期性的变化，于是两列波在重叠区域形成稳定的强度的周期性分布，这就是波的干涉现象。

实际观察到的总是在较长时间内的平均强度。在某一时间间隔( au)内，合振动的平均相对强度为

egin{equation*} overline{I}=overline{A^2}=frac{1}{ au}int_0^{ au}A^2mathrm dt=I_1+I_2+2sqrt{I_1I_2}frac{1}{ au}int_0^{ au}cos(varphi_2-varphi_1)mathrm dt end{equation*}

如果在观测时间内，振动断断续续，两振动相位差不恒定，例如是无规随机变化，相位差可取任意值，几率均等地在观察时间多次历经从0到(2pi)之间的一切可能值，则

egin{equation*} frac{1}{ au}int_0^{ au}cos(varphi_2-varphi_1)mathrm dt =0 end{equation*}

于是

egin{equation*} overline{I}=I_1+I_2 end{equation*}

那么合振动平均强度等于分振动强度之和。表面上看来，在这种情况下，合振动强度是分振动之和，不表现出干涉现象。

如果两波的频率不同，则相位差连续变化，空间(P)点处强度连续变化，对时间取平均，同样得(overline{I}=I_1+I_2)

如果振动方向互相垂直，合振动由矢量合成得到。设两分振动分别为

egin{equation*} vec{E}_1=vec{A}_1cosleft [omegaleft (t-frac{r_1}{v_1} ight)+varphi_{01} ight ]=vec{A}_1cosleft (omega t+varphi_{1} ight) end{equation*}

egin{equation}
vec{E}_2=vec{A}2cosleft [omegaleft (t-frac{r_2}{v_2} ight)+varphi{02} ight ]=vec{A}2cosleft (omega t+varphi{2} ight)
end{equation}

合振动为

egin{equation*} vec{E}=vec{E}_1+vec{E}_2 end{equation*}

用复数法可求得合振动强度

egin{equation*} egin{split} I&=|A|^2=(vec{A}_1e^{-ivarphi_1}+vec{A}_2e^{-ivarphi_2})cdot(vec{A}_1e^{ivarphi_1}+vec{A}_2e^{ivarphi_2})\ &=I_1+I_2+2vec{A}_1cdotvec{A}_2cosDelta varphi \ &=I_1+I_2 end{split} end{equation*}

为非相干叠加。

综上，要得到相干叠加：频率相同，振动方向不垂直，观测期间两振动相位差恒定。

实现光的干涉的条件

两盏灯照射在墙上，墙的亮度是两盏灯单独照射时亮度的和，没有明暗条纹，说明两束光的叠加是非相干的，这是因为两个独立光源的初相位差是不恒定的。

光的辐射源于物质的原子或分子。在两个通常独立的光源中，甚至在同一发光体的不同部分，一般说来原子的辐射是互不相干的。在一批发出辐射的原子里，由于能量损失或由于周围原子的作用，辐射过程常常会中断。一次辐射过程延续时间很短，约(10^{-8}s)。随后另一批原子发光，但是已经具有新的初相位。因此不同原子发出的辐射之间的相位差，将在每一次新的辐射开始时发生改变，也就是说，没经过一个很短的时间间隔，相位差都会改变。光波不是无限长的连绵不断的波，而是有限长的断断续续的波列，各个波列都有不同的初始相位，完全随机的。所以两个独立的光源是不相干的。

要观察到光的干涉，可以采用某些方法将同一光源点发出的光波列分成两部分，在空间经过不同的路径再重叠起来，这样的两束光具有固定的相位差，可以满足相干条件，实现干涉。

参考资料

• 光学·近代物理
• 光学，姚启钧