磁感应强度
为了描述电场的分布，我们引入电场强度矢量(vec{E})，同样，为了描述磁场的分布，我们也需要引入一个新的矢量，这个矢量就是磁感应强度(vec{B})。
两个电流元的磁相互作用力满足安培定律
egin{equation*} mathrm dvec{F}_{12}=kfrac{I_2mathrm dvec{l}_2 imes (I_1mathrm dvec{l}_1 imes hat{r_{12}})}{r_{12}^2}=frac{mu_0}{4pi}frac{I_2mathrm dvec{l}_2 imes (I_1mathrm dvec{l}_1 imes hat{r_{12}})}{r_{12}^2} end{equation*}
在国际单位制中，(frac{mu_0}{4pi}=10^{-7}mathrm {N/A^2})。
元电流之间的安培力的表达式分成两项：
egin{equation*} mathrm dvec{F}_{12}=I_2mathrm dvec{l}_2 imes mathrm dvec{B} end{equation*}
egin{equation*} mathrm dvec{B}=frac{mu_0}{4pi}frac{I_1mathrm dvec{l}_1 imes hat{r_{12}}}{r_{12}^2} end{equation*}
把电流元(I_2 mathrm dvec{l} \_2)看做试探电流元，则(mathrm d vec{B})则为电流元(I_1mathrm dvec{l} \_1)的磁场在电流元(I_2mathrm dvec{l} \_2)所在位置处的磁感应强度。
整个回路1对电流元(I_2mathrm dvec{l}_2)的作用力为
egin{equation*} egin{split} mathrm dvec{F}_{2}=&frac{mu_0}{4pi}oint_{L_1}frac{I_2mathrm dvec{l}_2 imes (I_1mathrm dvec{l}_1 imes hat{r_{12}})}{r_{12}^2}=frac{mu_0}{4pi}I_2dvec{l}_2 imesmathrm oint_{L_1}frac{ I_1mathrm dvec{l}_1 imes hat{r_{12}}}{r_{12}^2} \ =&I_2dvec{l}_2 imes vec{B} end{split} end{equation*}
上式中
egin{equation*} vec{B}=frac{mu_0}{4pi}oint_{L_1}frac{I_1mathrm dvec{l}_1 imes hat{r_{12}}}{r_{12}^2} end{equation*}
即为闭合回路(L_1)的磁场在电流元(I_2mathrm dvec{l}_2)所在位置处的磁感应强度。
一个电流元在磁场中的受力
egin{equation*} mathrm dvec{F}_{2}=I_2dvec{l}_2 imes vec{B} end{equation*}
这里的(vec{B})可以是电流产生的磁场，也可以是磁铁产生的磁场，或其他任何来源产生的磁场。
力的大小为
egin{equation*} d{F}_{2}=I_2d{l}_2{B}sin heta end{equation*}
其中，( heta)为试探电流元方向与磁场方向的夹角。当两个方向平行或反平行时，( heta =0,pi)，(mathrm dF_2=0)，当二者垂直时，试探电流元受力最大，(d{F}_{2}=I_2d{l}_2{B})，这样我们就可以确定空间任意一点磁感应强度的大小：
egin{equation*} B=frac{(d{F}_{2})_{max}}{I_2d{l}_2} end{equation*}
磁场的方向由矢量叉乘的右手定则确定。
磁感应强度的单位为(mathrm{N/(Acdot m)})，这个单位有个专门的名称特斯拉，用(mathrm T)表示，
egin{equation*} 1mathrm T=1 mathrm{N/(Acdot m)} end{equation*}
另外一个广泛使用的单位是高斯，用(mathrm {Gs})表示，
egin{equation*} 1mathrm T=1 mathrm {Gs} end{equation*}
egin{equation*} 1 mathrm {Gs} =10^{-4}mathrm T end{equation*}
磁感应线可用来可视化磁场。
毕奥-萨伐尔定律
电流元和闭合载流回路产生在空间任意一点产生的磁场
egin{equation*} mathrm dvec{B}=frac{mu_0}{4pi}frac{Imathrm dvec{l} imes hat{r}}{r^2} end{equation*}
egin{equation*} vec{B}=frac{mu_0}{4pi}oint_{L}frac{Imathrm dvec{l} imes hat{r}}{r^2} end{equation*}
此两式正是毕奥-萨伐尔定律。
课堂练习：判断图中1-8各点的磁感应强度的方向和大小。
判断图中1-8各点的磁感应强度的方向和大小
下面求解几种电流的磁场分布。
载流直导线的磁场
考虑一段直导线在场点(P) 处的磁感应强度。
载流直导线的磁场
根据毕奥-萨伐尔定律，任意电流元(Imathrm dvec{l})产生的元磁场(mathrm dvec{B})的方向一致（在点(P) 处的磁感应强度方向垂直纸面向里），因此总磁感应强度(B)的大小为(mathrm dB)的代数和，
egin{equation*} B=intmathrm dB=frac{mu_0}{4pi}int_{A_1}^{A_2}frac{Imathrm dlsin heta}{r^2} end{equation*}
(P)点到导线距离为(r_0)，由图可知，
egin{equation*} l=-r_0cot heta end{equation*}
egin{equation*} r=frac{r_0}{sin heta} end{equation*}
所以
egin{equation*} B=frac{mu_0I}{4pi}int_{A_1}^{A_2}frac{mathrm dl sin heta}{r^2}=frac{mu_0I}{4pi r_0}int_{ heta_1}^{ heta_2}sin hetamathrm d heta=frac{mu_0I}{4pi r_0}(cos heta_1-cos heta_2) end{equation*}
若导线为无限长（(r_0 ll l)），( heta_1=0)，( heta_1=pi)，则
egin{equation*} B=frac{mu_0I}{2pi r_0} end{equation*}
即长载流导线周围的磁感应强度的大小与场点到导线的距离成反比。
长直导线周围的磁感应线是以导线为中心的同心圆，磁感应强度的方向由右手定则确定。
无限长载流导线的磁感应线
载流圆线圈轴线上的磁场
设圆线圈中心为(O)，半径为(R)，其上任意一点(A)处电流元在轴线上一点(P)处产生的磁场为(mathrm dvec{B})，线圈上与(A)点对称的点(A')在点(P)处产生的磁场为(mathrm dvec{B}')，(mathrm dvec{B})和(mathrm dvec{B}')合成后沿(OP)方向，因此我们只需要计算电流元沿轴线方向的分量。对于整个圆线圈来说，在轴线上的磁场的总磁感应强度的方向沿轴线方向。
egin{equation*} egin{split} B=&int mathrm dBcosalpha=frac{mu_0I}{4pi }oint frac{mathrm dl}{r^2}cosalpha =frac{mu_0I}{4pi r_0^2}sin^2alphacosalphaoint mathrm dl \ =&frac{mu_0IR}{2 r_0^2}sin^2alphacosalpha end{split} end{equation*}
又
egin{equation*} sinalpha=frac{r_0}{sqrt{r_0^2+R^2}} end{equation*}
egin{equation*} cosalpha=frac{R}{sqrt{r_0^2+R^2}} end{equation*}
于是
egin{equation*} B=frac{mu_0IR}{2 r_0^2}sin^2alphacosalpha=frac{mu_0IR^2}{2(r_0^2+R^2)^{3/2}} end{equation*}
在圆心处，(r_0=0)
egin{equation*} B=frac{mu_0I}{2R} end{equation*}
无限远处，(r_0gg R)
egin{equation*} B=frac{mu_0IR^2}{2r_0^{3/2}} end{equation*}
亥姆霍兹线圈的磁场
亥姆霍兹线圈（Helmholtz coil）是一种制造小范围区域均匀磁场的器件。由于亥姆霍兹线圈具有开敞性质，很容易地可以将其它仪器置入或移出，也可以直接做视觉观察，所以，是物理实验常使用的器件。如下图是一座装配了亥姆霍兹线圈的物理仪器。
一座装配了亥姆霍兹线圈的物理仪器
下面我们讨论一下亥姆霍兹线圈中心轴线上的磁场。如下图所示，一对平行排列的相同的圆形线圈，通有同样的电流(I)，且回绕方向一致，线圈的半径为(R)，线圈相距(a)。
亥姆霍兹线圈
取线圈轴线上距离线圈等远处(O)点处为坐标原点，沿轴线建立(O-x)轴。则轴线上的磁场如下图所示。虚线为两线圈单独产生的磁场，实线为二者叠加之后的场。可以看出，当线圈间距(a)比较大时，(O)点处磁场为极小值，当线圈间距(a)比较小时，(O)点处磁场为极大值，因此当线圈间距(a)比较合适时，(O)点处接近均匀磁场。
亥姆霍兹线圈轴线上的磁场
设场点(P)的坐标为(x)，则两线圈产生的磁场分别为
egin{equation*} vec{B}_1=frac{mu_0 IR^2}{2}frac{1}{left [R^2+(x+a/2)^2 ight ]^{3/2}}vec{i} end{equation*}
egin{equation*} vec{B}_2=frac{mu_0 IR^2}{2}frac{1}{left [R^2+(x-a/2)^2 ight ]^{3/2}}vec{i} end{equation*}
总磁场为
egin{equation*} vec{B}(x)=vec{B}_1+vec{B}_2=frac{mu_0 IR^2}{2}left {frac{1}{left [R^2+(x+a/2)^2 ight ]^{3/2}}+frac{1}{left [R^2+(x-a/2)^2 ight ]^{3/2}} ight }vec{i} end{equation*}
将(B(x))在(x=0)处做泰勒展开，
egin{equation*} B(x)=B(0)+xleft( frac{mathrm dB(x)}{mathrm dx} ight )_{x=0}+frac{x^2}{2!}left( frac{mathrm d^2B(x)}{mathrm dx^2} ight )_{x=0}+frac{x^3}{3!}left( frac{mathrm d^3B(x)}{mathrm dx^3} ight )_{x=0}+frac{x^4}{4!}left( frac{mathrm d^4B(x)}{mathrm dx^4} ight )_{x=0}+O(x^4) end{equation*}
由于(B(x))是偶函数，(B(x)=B(-x))，故(left( frac{mathrm dB(x)}{mathrm dx} ight )_{x=0}=0)，(left( frac{mathrm d^3B(x)}{mathrm dx^3} ight )_{x=0}=0)，如果(left( frac{mathrm d^2B(x)}{mathrm dx^2} ight )_{x=0}=0)，则
egin{equation*} B(x)=B(0)+O(x^4) end{equation*}
磁场最为均匀。
由(left( frac{mathrm d^2B(x)}{mathrm dx^2} ight )_{x=0}=0)，得
egin{equation*} a=R end{equation*}
即两线圈的距离等于其半径。下图为亥姆霍兹线圈的示意图。
亥姆霍兹线圈示意图
载流螺线管轴线上的磁场
螺线管是很细的导线密绕而成，因此可以把螺线管近似看成导体圆筒上套着许许多多圆电流。
通电螺线管可近似看成并排圆电流
沿轴线单位长度的圆电流的个数即为螺线管单位长度的匝数(n)，电流强度为(I)。设螺线管半径为(R)，总长度为(L)，取圆筒中点为原点(O)，圆筒轴线为(x)轴。长(mathrm dl)内的电流在场点(P)处产生的磁感应强度为
egin{equation*} mathrm dB=frac{mu_0nIR^2}{2[(x-l)^2+R^2]^{3/2}}mathrm dl end{equation*}
因
egin{equation*} x-l=Rcoteta end{equation*}
于是有
egin{equation*} mathrm dl=frac{R}{sin^2eta}mathrm deta end{equation*}
磁感应强度
egin{equation*} egin{split} B=&intmathrm dB=int_{-L/2}^{L/2}frac{mu_0nIR^2}{2[(x-l)^2+R^2]^{3/2}}mathrm dl\ =&frac{mu_0nI}{2}int_{eta_1}^{eta_2}sinetamathrm deta=frac{mu_0nI}{2}(coseta_1-coseta_2) end{split} end{equation*}
其中，
egin{equation*} egin{cases} coseta_1=&frac{x+L/2}{sqrt{R^2+(x+L/2)^2}}\ coseta_2=&frac{L/2-x}{sqrt{R^2+(L/2-x)^2}} end{cases} end{equation*}
对于无限长螺线管
egin{equation*} B=mu_0nI end{equation*}
对于半无限长螺线管，端点处轴线上磁感应强度
egin{equation*} B=frac{mu_0nI}{2} end{equation*}
参考资料
- 赵凯华《电磁学》