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Description
小(C)是一个算法竞赛爱好者,有一天小(C)遇到了一个非常难的问题:求一个序列的最大子段和。
但是小(C)并不会做这个题,于是小(C)决定把序列随机打乱,然后取序列的最大前缀和作为答案。
小(C)是一个非常有自知之明的人,他知道自己的算法完全不对,所以并不关心正确率,他只关心求出的解的期望值,
现在请你帮他解决这个问题,由于答案可能非常复杂,所以你只需要输出答案乘上(n!)后对(998244353)取模的值,显然这是个整数。
Input
第一行一个正整数(n),表示序列长度。
第二行(n)个数,表示原序列(a[1..n]),第(i)个数表示(a[i])。
(1≤n≤20,Sigma(|A_i|)<=10^9),其中(1<=i<=N.)
Output
输出一个非负整数,表示答案。
Sample Input
2
-1 2
Sample Output
3
Solution
- 注意到(n)很小,每个子集的权值和我们可以暴力计算得出.
- 直接考虑各个子集作为最大前缀和.
- 显然,一个子集(S)排列后能成为最大前缀和,那么这个排列中不能有负的后缀和(否则去掉会更优),剩下的数排列后不能有正的前缀和(否则加上会更优).
- 我们令(f[S])表示将(S)集合中的数排成没有负的后缀和的排列的方案数,(g[S])表示将(S)集合中的数排成没有正的前缀和的排列的方案.
- 那么易知答案即为(sum_{Sin U,sum[S]>=0}f[S]*g[complement_{U}S]*sum[S]).
- 考虑如何快速计算出(f)和(g).若对于一个集合(i),新增了一个数(j).((j otin i)).
- 我们可以将(i)任意排列,再将(j)放在最后,方案数为(f[i])或(g[i]),统计入贡献.每个集合中的每个数都会被放在最后转移过来,所以总贡献一定是正确的.
- 这样,只需要在加数的时候判断一下(sum[i])的符号,即可确定转移(f)或(g).
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
int out=0,fh=1;
char jp=getchar();
while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
jp=getchar();
if (jp=='-')
{
fh=-1;
jp=getchar();
}
while (jp>='0'&&jp<='9')
{
out=out*10+jp-'0';
jp=getchar();
}
return out*fh;
}
const int P=998244353;
const int MAXS=(1<<20)+10;
inline int add(int a,int b)
{
return (a + b) % P;
}
inline int mul(int a,int b)
{
return 1LL * a * b % P;
}
int a[21];
int sum[MAXS],f[MAXS],g[MAXS];
int n;
inline int calc(int S)
{
int res=0;
for(int i=0;i<n && S;++i,S>>=1)
if(S&1)
res+=a[i];
return res;
}
int main()
{
n=read();
for(int i=0;i<n;++i)
a[i]=read();
int S=1<<n;
for(int i=0;i<S;++i)
sum[i]=calc(i);
for(int i=0;i<n;++i)
f[1<<i]=1,g[1<<i]=1;
for(int i=0;i<S;++i)
{
if(sum[i]>0)
{
for(int j=0;j<n;++j)
if(!((i>>j)&1))
f[i^(1<<j)]=add(f[i^(1<<j)],f[i]);
}
else
{
for(int j=0;j<n;++j)
if(!((i>>j)&1))
g[i^(1<<j)]=add(g[i^(1<<j)],g[i]);
}
}
int ans=0;
int U=S-1;
g[0]=1;
for(int i=0;i<S;++i)
if(sum[U^i]<=0)
ans=add(ans,mul(mul(f[i],sum[i]),g[U^i]));
printf("%d
",add(ans,P));
return 0;
}