图论笔记3 染色

图染色(Coloring)

染色数(Coloring Index)

图的染色分为点染色(vertex coloring)和边染色(edge coloring)

点染色指的是构造映射 (f_kcolon V(G)mapsto left{;1,2,ldots k; ight})，一个合法的染色(proper coloring) 则要求映射满足 (forall xyin E(G)Rightarrow f_k(x) eq f_k(y))，记 (k) 为这个染色方案的染色数(chromatic number)。通常我们只关心最小的染色数，记作 (chi(G))

下面讨论的染色都指的是proper coloring

边染色则是类似地构造 (f_kcolon E(G)mapsto left{;1,2,ldots k; ight})，proper的则要求满足 (forall e_1,e_2in E(G),; e_1cap e_2 eqvarnothingRightarrow f_k(e_1) eq f_k(e_2))

类似地定义 (chiprime (G)) 为最小的边染色数

关于染色最经典的问题就是著名的“四色定理”的证明。定理的证明非常长.....有兴趣也不会去看的

团(clique)和独立集(independent set)

团的定义为 (G) 的完全子图，即 (Hsubseteq G) 且 (2||H||=|H|(|H|-1))

定义clique number为最大团的大小，记为 (omega(G)=max left{;H ext{ is a clique}mid Hsubseteq G; ight})

定义反团(co-clique)为 (overline G) 的团，即 (G) 的一个独立集。同样定义 co-clique number 为最大独立集的大小，记为 (alpha(G))

容易有如下数量关系：

1. (alpha(G)cdot chi(G)geqslant |G|)
2. (n-alpha(G)geqslant chi(G)-1)
3. (chi(G)geqslant omega(G))
4. (inom{chi(G)}{2}geqslant ||G||)

1直接由每个独立集染上同一种颜色得到

2的意思是给最大的独立集染上一种颜色，剩下的点用 (chi(G)-1) 种颜色染

3的意思是团内部的颜色互不相同

4的意思是同色点之间不能连边，因此至多连 (inom{chi(G)}{2}) 条边

图的色多项式

对图 (G) 用 (k) 种颜色染色(我们认为每个节点都不一样)的方案数是关于 (G) 和 (k) 的函数，我们不妨记作 (F(G,k))

对 (|G|) 进行归纳。当 (|G|=1) 的时候 (F(G,k)=k)
设当 (|G|<n) 时成立，则 (|G|=n) 的时候，考虑 (xyin E(G))
只有两种情况：

1. (x,y) 同色，此时可以把 (x,y) 收缩成一个点而不改变方案数
2. (x,y) 异色，此时就是 (F(G,k))

于是 (F(G,k)+F(Gcirc xy,k)=F(G-xy,k))
很容易看出这是一个多项式，并且首项系数和次项系数与 (|G|) 和 (||G||)有关

染色的贪心算法

关于染色的证明通常通过构造给出一个最小染色数的上界。构造出染色方案的一种常见算法是所谓“贪心算法”，用如下步骤描述：

1. 维护已经染色的点集 (V') 和未染色的点集 ({V}'')
2. 任取 (xin V'')，给 (x) 染上 (N(x)cap V') 中未出现、且最小的颜色
3. 把 (x) 从 (V'') 中删去，再加入 (V') 中
4. 若 (V''=varnothing) 则结束算法，否则回到步骤2

容易发现这个算法并不总能给出较好的染色数的界，但仍然给出了一个结果，并且算法的结果与给节点染色的顺序十分相关，因此我们要结合以下引理来改进以下这个算法的效果。

引理一

取图 (G) 中的任意点 (s)，都存在 (V(G)) 的一个排列 (v_1,v_2,ldots v_{n-1}, s) 使得 (forall 1leqslant i< n) 都有 (exists j>i,;v_jin N(v_i))。

为了好记我把这个叫排列引理

只需要构造出这样的序列即可。我们取 (G) 中以 (s) 为根的生成树 (T)，每次从 (T) 中取出叶子，这样就能保证每个点在被放进序列时都有至少一个邻居在它的后面，且根是一定放在最后的。

这样结合贪心染色可以得到 (chi(G)leqslant maxleft{; ext{deg}(s)+1,Delta(G-s); ight})

引理二

若非完全图 (G) 满足 (delta(G)geqslant 3) 且 (kappa(G)geqslant 2)，那么 (exists x,yin V(G)) 使得 (exists vin V(G),; xv,yvin E(G) ext{ and } xy otin E(G))

并且有 (G-left{;x,y; ight}) 仍然连通。

取 (G) 的一个极小分隔集 (T)，则 (|T|=kappa(G)geqslant 2)。记 (C) 为 (G-T) 形成的连通分支的集合，那么有 (forall xin T)，(forall c_iin C,; N_G(x)cap c_i eqvarnothing)

于是取 (vin T)，令 (x,y) 分别取自不同的分支，那么必然有 (xy otin E(G) ext{ and } xv,yvin E(G))。

并且删去 (x,y) 后它们所属的分支仍然连通((kappa(c_x)geqslant 2 ext { and }kappa(c_y)geqslant 2))，(left{;c_x,c_y,x; ight}) 仍然连通(( ext{deg}(x)geqslant 3))，得到一个矛盾

染色数的平凡上界

任意图 (G) 都有 (chi(G)leqslant Delta (G)+1)。

这个上界直接由贪心算法得到。

Brooks Theorem

(G) 是连通图，那么 (chi(G)=Delta(G) + [G ext{ is complete or an odd cycle}])，其中 ([x]=1) 当且仅当表达式 (x) 为真。

首先 (G) 是完全图的情况很显然，奇数圈的情况也很简单，反证法就可以说明不存在方案了。

然后 (Delta(G)leqslant 2) 的情况也很好讨论，就是一个圈，因此下面讨论的都是 (Delta(G)geqslant3) 的图。

对于 (G) 不是完全图也不是奇数圈的情况我们对 (|G|) 归纳证明：

当 (|G|=3) 时，(G) 不是完全图也不是圈，因此 (G) 只能是链，染色就很显然了；

设当 (|G|< k) 时命题成立，则取 (|G|=k) 的图，分如下几种情况讨论：

1. (kappa(G)=1)，即 (G) 存在一个割点 (x)，则 (G=G_1cup G_2)，其中 (G_1cap G_2=left{;x; ight})。那么我们对 (G_1)、(G_2) 分别染色，由归纳假设得到他们方案的并就是 (G) 的一个合法染色方案，因此 (chi(G)=maxleft{;chi(G_1),chi(G_2); ight}leqslantmaxleft{;Delta(G_1),Delta(G_2); ight}leqslant Delta(G)) 得证。
2. (kappa(G) geqslant 2)，且存在 (xin V(G)) 使得 ( ext{deg}(x)<Delta(G))，则根据引理一构造 (x) 在最后的序列并贪心染色，这样就有 (chi(G)leqslantDelta(G))
3. (kappa(G)geqslant 2)，且 (forall xin V(G)) 都有 ( ext{deg}(x)=Delta(G)=delta(G))，则根据引理二存在 (x,y,vin V(G)) 使得 (xv,yvin E(G)) 且 (xy otin E(G))。我们把 (x,y) 染上同种颜色，根据引理一把 (v) 放在序列末尾，这样就可以贪心地染出 (chi(G)leqslant Delta(G)) 了。

图的定向(orientation)

图定向的严格定义是构造映射 (fcolon E(G)mapsto V(G) imes V(G))，简单地说就是给无向边定方向

我们称有向无环图(Directed Acyclic Graph) 为DAG，DAG有许多优秀的性质

DAG的染色算法

对于给定的有向无环图 (G)，我们给出如下染色算法步骤：

1. 我们需要维护一个映射 (gcolon V(G)mapsto mathbb N^+)，(g(x)) 表示以节点 (x) 为终点的最长路长度。
2. 找到 (xin V(G)) 使得 (x) 的入度为0，在 (N_G(x)) 中找到已经走过的点中 (g(v)) 的最大值，令 (g(x)=g(v)+1)
3. 删去 (x)，标记 (x) 已经走过了。若还有未经过的点则返回步骤2

细心的朋友们很快就可以发现这是一个拓扑排序上的计数。很显然 (g) 下任意相邻节点的函数值都不相等。于是我们caim：找到的映射 (g) 就是一个染色方案。

不妨记 (p(G)) 表示DAG图 (G) 中最长路的长度，那么有 (chi(G)leqslant p(G))

复杂度是可以做到 (Theta(n+m)) 的

利用图定向给出染色数的紧界

不妨设 (H) 是图 (G) 的任意一个定向，(K) 是 (H) 极大的不含有向圈的子图，那么有：

(chi(G)leqslant p(K))，并且存在一个定向使得它们恰好相等

这个结论是很强的。不等号的部分在DAG的染色中已经给出，我们只需要考虑 (E(G)ackslash E(K)) 中的边加入后会不会产生相同颜色的相邻节点就好了。由 (K) 的定义可知 (forall uvin (E(G)ackslash E(K)))，有 (K+uv) 会产生一个有向圈，即 (K) 中存在一条 (v-u) 有向路，这保证了 (g(v) eq g(u))

下面证明存在一个定向的极大无圈子图 (K) 使得 (p(K)=chi(G))。我们只需要证明 (p(K)leqslantchi(G))

首先用 (chi(G)) 给 (G) 染色，然后对 (G) 定向：若 (uvin E(G)) 有 (c(u)<c(v))，则构造定向 (f(uv)=(u,v))，否则 (f(uv)=(v,u))

即我们规定边只能从小颜色连向大颜色。这样 (K) 中路的长度至多为 (chi(G))，也就是 (p(K)leqslant chi(G))

这个定向实际上是在枚举所有贪心算法的操作序列，也就是说存在至少一种操作的顺序使得我们trivial的贪心算法能够摸到 (chi(G)) 的门槛。

平面图的五色定理

四色定理太难勒，这里有一个比较好玩的弱化版本——任意平面图(plane graph)/可平面图(planar graph)是5-可着色(colorable)的

引理一

极大可平面图有等式 (||G||=3|G|-6) 成立

推论1：平均度为 (frac{2||G||}{|G|}=frac{6|G|-12}{|G|}<6)，因此 (exists xin V(G)) 使得 ( ext{deg}(x)leqslant 5)

推论2：极大可平面图删去任意点仍然是可平面图，因此 (forall xin V(G)) 都有 ( ext{deg}(x)geqslant 3)

引理二

极大可平面图中任意点的邻居导出一个圈

只需要找到一个平面画法，删去这个点，观察这个点所在的区域的边界即可。

可平面图不好直接做，因此我们向 (G) 加边直至 (G) 成为极大可平面。只需证明新图 (G') 仍然是 5-可染色即可。

我们对极大可平面图的大小归纳。当 (|G|=1) 是显然的。

设当 (|G|<n) 时成立，则 (|G|=n) 时取 (xin V(G))

讨论：

1. ( ext{deg}(x)<5)，则由贪心算法可知加上 (x) 也不需要超过5种颜色。
2. ( ext{deg}(x)=5)，则 (x) 有恰好 (5) 个邻居
   1. 若5个邻居中存在两个颜色相同，则染上 (x) 也只需要至多5种颜色
   2. 若5个邻居互不相同，则需要特殊讨论。

现在来看2.2的情况。根据引理二我们得到5个点共圈，不妨按顺序记为 (v_1, v_2,ldots v_5)，其颜色分别为 (c_1,c_2ldots c_5) 那么我们做如下操作：

1. 把 (v_1) 的颜色换成 (c_3)
2. 把与 (v_1) 距离为1的点中，颜色为 (c_3) 的点的颜色换成 (c_1)
3. 把距离为2的点做同样操作....
4. 直到不存在可以更改颜色的点剩下。

若流程终止了，则我们通过switch得到了一个染色方案，而 (c(v_1) eq c(v_3))，即5个邻居只用了4种颜色，那么 (G) 就是5-可染色的了。

若最后一直换到了 (v_3)，即存在一条 (v_1-v_3) 路，使得路上的节点颜色交替为 (c_1,c_3,c_1,c_3ldots c_3)，那么此次交换无效(没有达到预期的目的)

再类似地考虑 (v_2,v_4)，若成功则证明完毕，否则存在一条 (v_2-v_4) 颜色交替路

注意到 (G) 是平面图，因此不存在这样两次都失败的情况(why？)，即 (v_2-v_4) 和 (v_1-v_3) 必然相交。因此证毕。

二分图的染色

这个非常sb，二分图嘛，黑白染色黑白染色，(chi(G)=2)

还有边染色的部分，先去吃饭...

回来填坑了

图的边染色

具体定义见上面

首先给出一个简单的关于边染色的界的结论：

(forall G), (chi'(G)geqslant Delta(G))

这个界的证明非常简单，只需要找到度数最大的节点，给它的边染上颜色就好了

二分图的边染色

若 (G) 是二分图，则 (chi'(G)=Delta(G))

首先有 (chi'(G)geqslantDelta(G))，因此只需要证明 (chi'(G)leqslantDelta(G)) 即可

我们对 (||G||) 归纳，设当 (||G||<n) 时命题成立，则取 (xyin E(G))，(chi'(G-xy)leqslantDelta(G-xy)leqslantDelta(G))

考虑加入 (xy) 这条边，那么( ext{deg}_{G-xy}(x)leqslantDelta(G), ext{deg}_{G-xy}(y)leqslantDelta(G))。不妨记 (M(x)) 为 (x) 相邻的边中没被用过的颜色，则分两种情况讨论：

1. (M(x)cap M(y) eqvarnothing)，则给 (xy) 染上 (M(x)cap M(y)) 中的任意一种颜色，(chi'(G)leqslantDelta(G))
2. (M(x)cap M(y)=varnothing)，则 (exists ain M(x), bin M(y)) 使得 (a otin M(y),b otin M(x))。类比点的染色，我们尝试通过交换来让出一种颜色。即令 (x) 邻边中染上 (b) 颜色的边换成 (a) 颜色，并沿着这条边走向一个邻居；再令这个邻居染上 (a) 颜色的邻边换成 (b) 颜色..... 直至走到一个不用换颜色的节点，则停止
   • 我们claim这样的走法一定能换成功，即使走回了起点。原因在于这是一个二分图，所有的圈都是偶圈，而我们交替地走着 (a,b,a,b,ldots) 的边，因此最后必然可以走出一条路(这样就直接交换颜色)或一个圈(这样就相当于轮换了一圈的颜色)

于是就证完了

一个任意图的更强的界

事实上 (forall G) 都有 (Delta(G)leqslantchi'(G)leqslantDelta(G)+1)

这个证明有点麻烦，咕了吧（