• 线性DP


    271. 杨老师的照相排列

    题意:

    有n个学生根据身高排队合影,一种站成k行,每行左对齐,要求左边高于右边,前面高于后面

    思路:

    假设我们将每个学生的身高从高到底排序,对于每个排列状态(a,b,c,d,e),都可以由最后一个加入的同学转移过来。

    代码:

    #include<iostream>
    #include<string.h>
    using namespace std;
    typedef long long LL;
    LL a[6];
    LL f[31][31][31][31][31];
    int main(){
        int n;
        while(cin>>n){
            if(!n) break;
            memset(a,0,sizeof a);
            memset(f,0,sizeof f);
            for(int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
            f[0][0][0][0][0]=1;
            for(int a1=0;a1<=a[1];++a1){   //最后一行
                for(int a2=0;a2<=min(1ll*a1,a[2]);++a2){
                    for(int a3=0;a3<=min(1ll*a2,a[3]);++a3){
                        for(int a4=0;a4<=min(1ll*a3,a[4]);++a4){
                            for(int a5=0;a5<=min(1ll*a4,a[5]);++a5){
                                LL v=f[a1][a2][a3][a4][a5];
                                if(a1<a[1]){
                                    f[a1+1][a2][a3][a4][a5]+=v;
                                }
                                if(a2<a[2]&&a2+1<=a1){
                                    f[a1][a2+1][a3][a4][a5]+=v;
                                }
                                if(a3<a[3]&&a3+1<=a2){
                                    f[a1][a2][a3+1][a4][a5]+=v;
                                }
                                if(a4<a[4]&&a4+1<=a3){
                                    f[a1][a2][a3][a4+1][a5]+=v;
                                }
                                if(a5<a[5]&&a5+1<=a4){
                                    f[a1][a2][a3][a4][a5+1]+=v;
                                }
                            }
                        }
                    }
                }
            }
            cout<<f[a[1]][a[2]][a[3]][a[4]][a[5]]<<endl;
        }
        return 0;
    }
    

    273. 分级

    题意:

    给定长度为N的序列A,构造一个长度为N的序列B,满足:

    1、B非严格单调,即(B_1≤B_2≤…≤B_N)(B_1≥B_2≥…≥B_N)
    2、最小化 (S=|A_i−B_i|)

    只需要求出这个最小值S。

    思路:

    一定存在一种最优解,B序列中出现的数字都是来自于A序列的。f[i,j]表示构造长度为i的B序列,第i个数字是降序排序后的(a_j),那么(f[i,j]=min(f[i-1][1)$j])+abs(a[i]-b[j])$,复杂度O(n^3)。可以开一个临时数组距离f[i-1][1j]的最小值,val变量随着第i维一起遍历。

    代码:

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int N=2010;
    int f[N][N],tmp[N],a[N],b[N];
    int main(){
        int n;
        cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i],b[i]=a[i];
        sort(b+1,b+1+n);
        memset(f,0x3f,sizeof f);
        for(int i=1;i<=n;++i){
            int val=tmp[1];
            for(int j=1;j<=n;++j){
                val=min(tmp[j],val);
                f[i][j]=min(f[i][j],val+abs(a[i]-b[j]));
                
            }
            memcpy(tmp,f[i],sizeof tmp);
        }
        int res=0x3f3f3f3f;
        for(int j=1;j<=n;++j) res=min(res,f[n][j]);
        cout<<res<<endl;
        return 0;
    }
    

    277. 饼干

    题意:

    有m块饼干分给n个小朋友,每个小朋友至少分到一块。有个小朋友都有一个贪婪度值(a_i),当一个小朋友比k个小朋友得到的饼干少,他就会产生(a_i*k)的怒气值。
    求使得所有小朋友产生的最少怒气值和以及输出该分配方案。

    思路:

    这道题没有告诉分配顺序,但是DP问题首先要确定遍历顺序,用贪心的微调法可以得到一个结论,当(a_i>a_j),那么第i个小朋友就一定大于等于第j个小朋友分到的饼干。问题就转化成了将整数m分成n个正整数之和,这里利用900. 整数划分的分析方法,通过枚举当前状态里有至少有几个1转移。f[i][j]表示前i个小朋友分j块饼干的最小怒气值.

    方案我们可以通过倒推得到。

    代码:

    #include<bits/stdc++.h>
    #define x first
    #define y second
    using namespace std;
    typedef pair<int,int> PII;
    PII a[40];
    int f[40][5010],sum[40],ans[40];
    int main(){
        int n,m;
        cin>>n>>m;
        int tm=m;
        for(int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i].x,a[i].y=i;
        sort(a+1,a+1+n);
        reverse(a+1,a+1+n);
        for(int i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+a[i].x;
        memset(f,0x3f,sizeof f);
        f[0][0]=0;
        for(int i=1;i<=n;++i){
            for(int j=1;j<=m;++j){
                if(j<i) continue;
                f[i][j]=f[i][j-i]; //0个1
                for(int k=1;k<=i;++k){
                    f[i][j]=min(f[i][j],f[i-k][j-k]+(i-k)*(sum[i]-sum[i-k]));
                }
            }
        }
        cout<<f[n][m]<<endl;
        int i=n,j=m,h=0;
        while(i){
            if(j>=i&&f[i][j]==f[i][j-i]) j-=i,h++;
            else {
                for(int k=1;k<=i&&k<=j;++k){
                    if(f[i][j]==f[i-k][j-k]+(i-k)*(sum[i]-sum[i-k])){
                        for(int l=i-k+1;l<=i;++l)
                            ans[a[l].y]=h+1;
                        i-=k;j-=k;
                        break;
                    }
                }
            }
        }
        for(int i=1;i<=n;++i) cout<<ans[i]<<" ";
        return 0;
    }
    
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