卢卡斯定理 刷题记录

定理内容

$C^b_a(modp)=prod_{i=0}^nC_{ai}^{bi}$

其中 $a=sum_{i=0}^na_i*p^i$，$b=sum_{i=0}^nb_i*p^i$

• 当p很小时，要计算较大的组合数可以考虑使用该定理：$C^b_amodp=C^{b/p}_{a/p}*C^{bmodp}_{amodp}$
• 然后就降到O(p)，此时用组合数的定义和逆元算就是O(p)了

证明

bzoj 3260: 跳

• 从(0,0)出发在二维坐标上移动，最后到达（n,m）点，问花费的最小代价
• C(x,y)=C(x,y-1)+C(x-1,y)    其中C(x,y)为(x,y)点花费的代价，C(0,0)为1
• 容易看出杨辉三角...
• 打个表发现贪心，如果n>m,直接先向上走n步，再向右走到目的地
• 然后发现那个组合数连加有个公式。。。最后就是这样
• 用到卢卡斯定理是因为m,n特别大
• 代码：

  #include <bits/stdc++.h>
  #define nmax 1000
   
  using namespace std;
  typedef long long ll;
  const ll mn = 1000000007;
   
  ll fp(ll x, ll y){
      if(x == 1) return y;
      ll t = fp(x/2, y);
      if(x&1) return ( (t*t % mn)*y ) % mn;
      else return (t*t) % mn;
  }
   
  ll getinv(ll x){
      ll ans = fp(mn-2, x);
      return ans;
  }
   
  ll gc(ll b, ll e){
      ll ans = 1;
      for (ll i=b; i<=e; i++) { ans *= i; ans %= mn; }
      return ans;
  }
   
  ll cc(ll a, ll b){
      return gc(a-b+1, a) * getinv( gc(1,b) ) % mn;
  }
   
  int main(){
      ll n, m, a, b, ans, c, d, e, f;
      cin >> a >> b;
      n = max(a, b);
      m = min(a, b);
      ans = n % mn;  //C(m , n+m+1)
      a = n+m+1, b = m;  //c(a,b)
      c = a/mn; 
      d = b/mn;
      e = a%mn;
      f = b%mn;
      ans += cc(c, d) * cc(e,f) % mn;
      ans %= mn;
      cout << ans << endl;
      return 0;
  }