[LeetCode] Unique Paths && Unique Paths II && Minimum Path Sum （动态规划之 Matrix DP ）

Unique Paths

https://oj.leetcode.com/problems/unique-paths/

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a 3 x 7 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

我的思路

我个人通常喜欢将此类问题，叫做 Matrix DP 问题，这道题很显然需要使用动态规划来做，一般做此类 Matrix DP 问题，通常需要注意以下几点：

state: f[x][y] 表示我从起点走到坐标x,y……
function: 研究最后一步怎么走
intialize: 起点
answer: 终点

先来看 state ，可以这样定义，f[x][y] 表示从起点 (0,0) 出发，到达 (x,y) 的 unique paths 。

再来看看怎么找状态转移方程，不难发现，从起点出发到达点 (x,y) 的 unique paths 实际上等于从起点出发到达该点左边一点（也就是(x,y-1)）的 unique paths 加上从起点出发到达该点上面一点（也就是(x-1, y)）的 unique paths 后的和。

显然该 f 矩阵的初始化是将最左边的一列和最上面的一行置为 1 ，因为由起点出发无论往下走还是往右走，该列或者该行上的每一点的 unique paths 均为1，注意即使 start 位置等于 finish 位置（也就是只有一个点），其 unique paths 也为1（自己走向自己算 1 ）。

下面是我在 LeetCode 上 AC 的代码：

/**
 * Zhou J
 */ 

class Solution 
{
public:
    int uniquePaths(int m, int n) 
    {
        if (m == 0 || n == 0) {
            return 0;
        }
        
        int sum[m][n];
        
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            sum[i][0] = 1;
        }
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            sum[0][i] = 1;
        }
        
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                sum[i][j] = sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1];
            }
        }
        
        return sum[m - 1][n - 1];
    }
};

如果你们理解了上面这一题，可以接着来看下面的 follow question。

Follow Question

Unique Paths II

https://oj.leetcode.com/problems/unique-paths-ii/

Follow up for "Unique Paths":

Now consider if some obstacles are added to the grids. How many unique paths would there be?

An obstacle and empty space is marked as 1 and 0 respectively in the grid.

For example,

There is one obstacle in the middle of a 3x3 grid as illustrated below.

[
  [0,0,0],
  [0,1,0],
  [0,0,0]
]

The total number of unique paths is 2.

Note: m and n will be at most 100.

下面是我 AC 的代码：

/**
 * Zhou J
 */ 

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int> > &obstacleGrid) {
        if (obstacleGrid.size() == 0)
        {
            return 0;
        }
        
        int numOfRows = obstacleGrid.size();
        int numOfCols = obstacleGrid[0].size();
        vector<vector<int>> sum(obstacleGrid);
        
        // initialize the left column
        for (size_t ix = 0; ix != numOfRows; ++ix)
        {
            if (obstacleGrid[ix][0] == 0)
            {
                sum[ix][0] = 1;
            }
            else
            {
                for (size_t newIx = ix; newIx != numOfRows; ++newIx)
                {
                    sum[newIx][0] = 0;
                }
                break;
                     
        }
        
        // initialize the top row
        for (size_t ix = 0; ix != numOfCols; ++ix)
        {
            if (obstacleGrid[0][ix]  == 0)
            {
                sum[0][ix] = 1;
            }
            else
            {
                for (size_t newIx = ix; newIx != numOfCols; ++newIx)
                {
                    sum[0][newIx] = 0;
                }
                break;
            }
        }
        
        // switch the state
        for (size_t i = 1; i != numOfRows; ++i)
        {
            for (size_t j = 1; j != numOfCols; ++j)
            {
                if (obstacleGrid[i][j] == 0)
                {
                    sum[i][j] = sum[i-1][j] + sum[i][j-1];
                }
                else
                {
                    sum[i][j] = 0;
                }
                
            }
        }
        
        // return the answer
        return sum[numOfRows - 1][numOfCols - 1];
    }
};

这倒题目相对上一题，有这样两个注意点：

1. 在初始化行和列的时候，如果有某一个点为障碍物，那么不仅仅该位置所对应的 sum 将置为0，而是其接下来的每一个位置所对应的 sum 都要置为0，这很好理解，一行或一列都属于直线，其中只要有一个障碍物，那么这一整条线路就废掉了。

2. 状态转移的过程中，如果遇到障碍物，改点应该直接返回 0 。

Minimum Path Sum

我们最后再来看一道 Matrix DP 相关的问题，如下：

Minimum Path Sum

https://oj.leetcode.com/problems/minimum-path-sum/

Given a m x n grid filled with non-negative numbers, find a path from top left to bottom right which minimizes the sum of all numbers along its path.

Note: You can only move either down or right at any point in time.

此题，实际上和上面两题属于一个套路，只不过此处的状态矩阵 sum 存放的是最短路径和。从起点出发到达某个位置的最短路径和，一定是从起点出发到达该位置左边或者上面一点的最短路径（两者取较小的）加上该点自身的路径。

state: f[x][y]从起点走到x,y的最短路径
function: f[x][y] = min(f[x-1][y], f[x][y-1]) + cost[x][y]
intialize: f[0][0] = cost[0][0]
             f[i][0] = sum(0,0 -> i,0)
             f[0][i] = sum(0,0 -> 0,i)
answer: f[n-1][m-1]

下面是 AC 的代码：

/**
 * Zhou J
 */
class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int> > &grid) 
    {
        if (grid.size() == 0)
        {
            return 0;
        }
        
        int numOfRows = grid.size();
        int numOfCols = grid[0].size();
        vector<vector<int>> sum(grid);
        
        sum[0][0] = grid[0][0];
        
        // initialize the left column
        for (size_t ix = 1; ix != numOfRows; ++ix)
        {
            sum[ix][0] = sum[ix - 1][0] + grid[ix][0];
        }
        
        // initialize the top row
        for (size_t ix = 1; ix != numOfCols; ++ix)
        {
            sum[0][ix] = sum[0][ix - 1] + grid[0][ix];
        }
        
        // switch the state
        for (size_t i = 1; i != numOfRows; ++i)
        {
            for (size_t j = 1; j != numOfCols; ++j)
            {
                sum[i][j] = min(sum[i][j - 1], sum[i - 1][j]) + grid[i][j];
            }
        }
        
        // return the minimum path sum
        return sum[numOfRows - 1][numOfCols - 1];
        
    }
};

刷题心得

LeetCode 是一个非常好的平台，我们在上面做题时，一定要自己先思考，不要急于去 google 答案，如果你的代码 AC 不过，LeetCode 是会把过不了的 TestCase 显示给你的，根据这些提示，我们一步步修正答案，往往会得到很好的锻炼。

个人以为 Matrix DP 一类的动态规划问题通常是最简单的，对于此类题目，initialize 这一步往往是初始化起点对应的行和列。在之后的文章中，我也会针对北美一些面试题中涉及到的动态规划问题做进一步分析。

笔者目前还在国内读硕士，但是前些阶段和一些目前仍然在国内工作，但是日后想去湾区工作的朋友们交流，有一个问题是如果经常跳槽的话，会不会影响北美的面试？答案是会有影响的。我咨询了一个Facebook 的面试官，他的意思是做 intern 经常换工作是无所谓的，但是 fulltime 经常换的话，影响还是很大的。打个比方来说，intern 就相当于女朋友，这个社会现在还是允许我们经常换女朋友的（是有点贱贱嗒），但是 fulltime 就相当于 wife ，你总不能老离婚吧？！

PS：我是有多想去湾区工作啊，求内推~！！