背包问题整理

背包问题

给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，现有一个背包，能承受的重量有限，在受限制的重量下，取若干物品，使得总价值最大。这一类问题，被称为背包问题。

01背包（物品个数为1）

for (int i = 1; i <= N; ++i) {
    for (int j = 0; j <= V; ++j) {
        if(j >= c[i]) {
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - c[i]] + w[i], dp[i - 1][j]);
        } else {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
    }
}

时间上是两重循环，时间复杂度为O(NV)。空间是二维的，空间复杂度也为O(NV)。

for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = v; j >= c[i]; --j) {
        dp[j] = max(dp[j - c[i]] + w[i], dp[j]);
    }

这个做法空间复杂度也为O(V)。

多重背包（物品个数有限）

for (int i = 1; i <= N; i++) {
    for (int j = 0; j <= V; j++) {
        for (int k = 0; k <= n[i]; k++) {
            if (j >= c[i] * k) {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - c[i] * k] + w[i] * k, dp[i][j]);
            }
        }
    }
}

这一份代码和01背包相比，不再有else部分了，因为，k = 0的时候dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j]), 相当于01背包的else部分。

 空间优化

既然多重背包的可以转换成01背包,那么我们必然也可以像01背包那样优化空间复杂度。还是按照从大到小的顺序枚举背包体积。

for (int i = 1; i <= N; i++) {
    for (int j = V; j >= 0; j--) {
        for (int k = 1; k <= n[i]; k++) {
            if (j >= c[i] * k) {
                dp[j] = max(dp[j - c[i] * k] + w[i] * k, dp[j]);
            }
        }
    }
}

完全背包（物品个数无限）

解析

虽然物品个数是无限的，但是实际上，由于背包容量有上限，每个物品最多选取的个数也是有限制的，这样可以转换成多重背包问题，进而可以转换成01背包问题。

可以用多重背包的思想来解决完全背包。

for (int i = 1; i <= N; i++) {
    for (int j = 0; j <= V; j++) {
        for (int k = 0; k * c[i] <= j; k++) {
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - c[i] * k] + w[i] * k, dp[i][j]);
        }
    }
}

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 0; j <= v; j++) {
        if (j >= c[i]) {
            dp[i][j] = max(dp[i][j - c[i]] + w[i], dp[i - 1][j]);
        } else {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
    }
}

这样我们的的算法时间复杂度O(NV)，空间复杂度O(NV)。

不难发现，我们也可以把空间复杂度优化下来，优化成O(V)。

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = c[i]; j <= v; j++) {
        dp[j] = max(dp[j - c[i]] + w[i], dp[j]);
    }
}

与 01 背包相比，完全背包只是第二重循环的顺序发生了翻转。

多重背包的二进制优化

#include <iostream>
using namespace std;
int n[110], c[110], w[110];
int nc[1000], nw[1000];
int dp[5010];
int main() {
    int N, V;
    cin >> N >> V;
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        cin >> w[i] >> c[i] >> n[i];
    }
    int ncnt = 0;
    // 二进制拆分
    for (int i = 1; i <= N; ++i) {
        int k;
        // 找到最大的 k
        for (k = 1; n[i] - (1 << k) + 1 > 0; ++k) {
            nc[ncnt] = (1 << (k - 1)) * c[i];
            nw[ncnt] = (1 << (k - 1)) * w[i];
            ++ncnt;
        }
        --k;
        // 最后一组
        nc[ncnt] = (n[i] - (1 << k) + 1) * c[i];
        nw[ncnt] = (n[i] - (1 << k) + 1) * w[i];
        ++ncnt;
    }
    // 01 背包
    for (int i = 0; i < ncnt; ++i) {
        for (int j = V; j >= nc[i]; --j) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - nc[i]] + nw[i]);
        }
    }
    cout << dp[V] << endl;
    return 0;
}

for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            //核心代码
            for (int j = 1; num[i] > j; j <<= 1)//注意j用到二进制位移
            {
                sale[++count] = sale[i] * j;
                wei[count] = wei[i] * j;
                num[i] -= j;
            }
            wei[i] = wei[i] * num[i];
            sale[i] = sale[i] * num[i];
        }

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