• hdu 1014 Uniform Generator 数论


    摘取于http://blog.csdn.net/kenden23/article/details/37519883;

    找到规律之后本题就是水题了,不过找规律也不太容易的,证明这个规律成立更加不容易。

    本题就是求step和mod如果GCD(最大公约数位1)那么就是Good Choice,否则为Bad Choice

    为什么这个结论成立呢?

    因为当GCD(step, mod) == 1的时候,那么第一次得到序列:x0, x0 + step, x0 + step…… 那么mod之后,必然下一次重复出现比x0大的数必然是x0+1,为什么呢?

    因为(x0 + n*step) % mod; 且不需要考虑x0 % mod的值为多少,因为我们想知道第一次比x0大的数是多少,那么就看n*step%mod会是多少了,因为GCD(step, mod) == 1,那么n*step%mod必然是等于1,故此第一次重复出现比x0大的数必然是x0+1,那么第二次出现比x0大的数必然是x0+2,以此类推,就可得到必然会出现所有0到mod-1的数,然后才会重复出现x0.

    当GCD(step, mod) != 1的时候,可以推出肯定跨过某些数了,这里不推了。

    然后可以扩展这个结论,比如如果使用函数 x(n) = (x(n-1) * a + b)%mod;增加了乘法因子a,和步长b了;

    那么如果是Good Choice,就必然需要GCD(a, mod) == 1,而且GCD(b, mod) == 1;

    (另外的证明)

    对于mod n域中的任意数a,若有gcd(m,n)=1,则m为该域的生成元,使得a+km可以为域中任意数.

    证明十分简单,若gcd(m,n)=1,则lcm(m,n)=m*n,则对于a的mod n运算,需要n次的计算才能回到a,期间必遍历该域中所有数!

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cmath>
    #include<string>
    #include<queue>
    #include<algorithm>
    #include<stack>
    #include<cstring>
    #include<vector>
    #include<list>
    #include<set>
    #include<map>
    using namespace std;
    #define ll __int64
    #define mod 1000000007
    int scan()
    {
        int res = 0 , ch ;
        while( !( ( ch = getchar() ) >= '0' && ch <= '9' ) )
        {
            if( ch == EOF )  return 1 << 30 ;
        }
        res = ch - '0' ;
        while( ( ch = getchar() ) >= '0' && ch <= '9' )
            res = res * 10 + ( ch - '0' ) ;
        return res ;
    }
    int gcd(int x,int y)
    {
        return x%y?gcd(y,x%y):y;
    }
    int main()
    {
        int x,y,z,i,t;
        while(~scanf("%d%d",&x,&y))
        {
            printf("%10d%10d",x,y);
            if(gcd(x,y)==1)
            printf("    Good Choice
    ");//4个空格,pe多次
            else
            printf("    Bad Choice
    ");
            printf("
    ");
        }
        return 0;
    }
    

      

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