Singapore NOI2012 MODSUM题解

MODSUM（modsum.pas/c/cpp）

【问题描述】

在本题中，你得到了一个含有n个参数的函数f：

f(x₁,…,x₂)=(((x₁+x₂+…+x_n)⁴+2*(x₁+x₂+…+x_n)²) mod 5)+1

为了避免出现争议，函数f只接受整数参数。你的任务是计算f的所有函数值的和，每个参数x_i是从v_i到w_i之间的整数。也就是说，你需要计算

例如，如果n=3，v₁=2，w₁=3.v₂=10，w₂=12，v₃=17，w₃=17，那么这个结果应该是19。因为f(2，10，17) = 4, f(2，11，17) = 1, f(2，12，17) = 4, f(3，10，17) = 1,f(3，11，17) = 4 and f(3，12，17) = 5。

重要提示：你可以认为这个结果是总小于1,000,000的。

【输入】

你的程序必须从标准输入中读取数据。输入包含一个数n（1≤n≤1000），跟在n后面有n对数，v_i和w_i，你可以认为v_i≤w_i，v_i和w_i都是0~100之间的整数。比如上面这个例子，输入是：

3 2 3 10 12 17 17

【输出】

你的程序必须从标准输出中输出。输出计算出的和。比如上面这个例子，输出则是：

19

【数据范围】

你的程序将会被5套测试数据测试：

1. （5分）n≤6；

2. （5分）n≤20；

3. （5分）n≤100；

4. （5分）n≤200；

5. （5分）n≤1000.

【题目分析】

看到本题，我们第一个反应到的算法应该就是搜索算法，深度优先搜索解答树，即枚举每个数从v_i到w_i的值，逐个计算函数值，最后累加。但是分析一下极端情况我们会发现，枚举量会达到101¹⁰⁰⁰，这个枚举量是难以接受的，但是题目中给了我们一个重要信息——最后的值不会超过1,000,000，每一个函数值最小为1，最大为5，和不超过1,000,000，也就代表着最多枚举量不会超过1,000,000。这样我们使用DFS搜索解答树完全是可行的。但是由于循环的层数不固定，所以我们通过递归的方式来变相的达到循环的效果。

比如题目中所给的例子的解答树是：

但是从DFS可以看出，它计算了很多重复的值，浪费了很多的时间。那么我们可以考虑采用BFS的思想，逐层进行DP的方式进行处理。

在此之前，我们先计算出一个表格，用来计算当Σx_i%5分别等于 0,1,2,3,4时f(x₁,…,x_n)的取值，方便后面的计算。

Σxi%5	f(x1,…,xn)
0	1
1	4
2	5
3	5
4	4

那么，我们设f[i][y]表示前i个数里面，Σx_i%5=y的种类数。那么状态转移方程为：

（其中，c[i][z]表示第i个数所在的范围v_i到w_i之间除以5余z的数的数量。边界f[0][0]=1）

例如：f[4][0]=f[3][0]*c[4][0]+f[3][1]*c[4][4]+f[3][2]*c[4][3]+f[3][3]*c[4][2]+f[3][4]*c[4][1]。

样例分析：前四个数的和除以5余0的可能有：前三个数的和余0的数再加上第四个数的范围内余0的数，最终和余数仍为0（种类用乘法）；前三个数的和余1的数再加上第四个数的范围内余4的数，最终和余数仍为0（种类用乘法）…以此类推。

而最后，我们把f[n][0]~f[n][4]中的数分别和上表的数相乘，再相加即为最终答案。

【程序源代码】

1. 递归计算代码：

//modsum.cpp by JerryXie

#include<cstdio>
using namespace std;
struct para //定义结构体用来表示变量
{
  int v,w;
};

int n,xx[1001],finalans=0;
para p[1001];
int f() //计算函数值
{
    int i,sum=0,ans=0,temp;
    for(i=1;i<=n;i++)
      sum+=xx[i];
    sum%=5;
    temp=sum;
    sum=sum*sum*sum*sum;
    sum%=5;
    ans+=sum;
    sum=temp;
    sum=sum*sum*2;
    sum%=5;
    ans+=sum;
    ans%=5;
    ans++;
    return ans;
}
void work(int xi) //递归取数
{
     int i;
     for(i=p[xi].v;i<=p[xi].w;i++)
     {
       xx[xi]=i; //循环选定每一层的数
       if(xi==n) //如果已经选完
         finalans+=f(); //计算函数值
       else //没选完
         work(xi+1); //继续递归下一层
     }
}
int main() //主函数
{
    int i;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)
      scanf("%d%d",&p[i].v,&p[i].w);
    work(1); //调用递归函数计算
    printf("%d",finalans);
    return 0;
}

2. 动态规划代码：

//modsum.cpp by JerryXie

#include<cstdio>
using namespace std;
struct para //定义结构体用来表示变量
{
  int v,w;
};

para p[1001];
int f[1001][10],a[10],c[1001][10];
void create() //初始化
{
    a[0]=1;a[1]=4;a[2]=5;a[3]=5;a[4]=4; //初始化计算的参数和与函数值的关系
    f[0][0]=1; //初始化DP边界
    return;
}
int main()
{
    int i,j,k,n,temp,ans=0;
    scanf("%d",&n);
    create();
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
      scanf("%d%d",&p[i].v,&p[i].w); //读数
      for(j=p[i].v;j<=p[i].w;j++) //计算第i个数的取值范围中除以5与temp的数量
      {
        temp=j%5;
        c[i][temp]++;
      }
    }
    for(i=1;i<=n;i++) //开始DP
    {
      for(j=0;j<=4;j++)
      {
        for(k=0;k<=4;k++)
        {
          f[i][j]+=f[i-1][(j+5-k)%5]*c[i][k];
        }
      }
    }
    for(i=0;i<=4;i++) //计算最终结果
      ans+=f[n][i]*a[i];
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

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