一个"Median Maintenance"问题

题目要求：

Download the text file here.

The goal of this problem is to implement the "Median Maintenance" algorithm (covered in the Week 5 lecture on heap applications). The text file contains a list of the integers from 1 to 10000 in unsorted order; you should treat this as a stream of numbers, arriving one by one. Letting xidenote the ith number of the file, the kth median mk is defined as the median of the numbers x1,…,xk. (So, if k is odd, then mk is ((k+1)/2)th smallest number among x1,…,xk; if k is even, then mk is the (k/2)th smallest number among x1,…,xk.)

In the box below you should type the sum of these 10000 medians, modulo 10000 (i.e., only the last 4 digits). That is, you should compute (m1+m2+m3+⋯+m10000) mod 10000.

OPTIONAL EXERCISE: Compare the performance achieved by heap-based and search-tree-based implementations of the algorithm.

大致意思是说，有一个文件，其中包含了1~10000这一万个无序的数字，要求我们每次读入一个数字，并且每次读入数字后，找出所有已读入数字的中位数，计算所有这些中位数的和，然后输出和模10000的结果。

文件中的数据差不多是这样子的：

...

6195
2303
5685
1354
4292
7600
6447
4479
9046
7293
5147
1260
1386
6193
4135
3611
8583

...

---

解题思路：

这道题当然可以采用最暴力的方法，即每次读入一个数后就对数组进行排序，然后记录中位数，但是显然应该还有更好的方法。没错，如果借用“堆”这一数据结构，可以让算法的时间复杂度大大降低。具体的思路如下：

• 创建两个堆：最大堆和最小堆（最大堆即父节点大于子节点的堆，反之则是最小堆）；
• 每次读入一个数后，我们将它和最大堆与最小堆的根节点大小进行比较，如果大于最大堆的根节点，那么就把它插入到最小堆当中；反之，就插入最大堆当中。可以想象一下，通过这个操作，比这两个根节点大的数字都在最小堆的根节点之下，而比这两个根节点小的数字，都在最大堆的根节点之下；
• 有了上述结论后，我们还不能保证中位数就在两个根节点中，因为两个堆的大小可能会差的很大，因此每次读入一个数并且插入相应的堆后，我们都要检查两个堆的大小，然后平衡他们的大小（只有在两个堆的大小差异不大于1的情况下， 中位数才是两个根节点中的一个）
• 平衡的具体做法是：如果两个堆的大小差异超过了1，那么就把size较大的那个堆的根节点pop出来，并将其插入到size较小的堆中；
• 最后就是计算中位数了，因为最小堆的根节点会大于最大堆的根节点，因此如果最小堆的size比最大堆大1，那么中位数就是最小堆根节点；如果两者大小相等，或者最大堆的size比最小堆大1，那么中位数就是最大堆的根节点。

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代码实现：

有了上述的思路，利用C++对其进行了实现，代码如下：

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <string>
#include <sstream>
#include <limits>
using namespace std;

class MinMaxHeap {
public:
    MinMaxHeap(bool is_min);
    ~MinMaxHeap();
    int Top();
    int Size();
    void Insert(int num);
    void Pop();
private:
    void swap(int index1, int index2);
    int size;
    int *element;
    bool is_min;
};

MinMaxHeap::MinMaxHeap(bool is_min = true) {
    // for this problem, 5010 is just fine
    this->element = new int[5010];
    this->size = 0;
    this->is_min = is_min;
}

MinMaxHeap::~MinMaxHeap() {
    delete[] this->element;
}

int MinMaxHeap::Top() {
    return this->element[0];
}

int MinMaxHeap::Size() {
    return this->size;
}

// The position of each element(the number means the index of the array)
//           0
//         /   
//       1       2
//      /      /  
//     3    4  5    6

void MinMaxHeap::Insert(int num) {
    int pos = size;
    element[size++] = num;
    if (is_min) {
        while (pos > 0) {
            int parent = (pos - 1) >> 1; // same as (pos - 1) / 2
            if (element[parent] <= element[pos]) {
                break;
            }
            swap(parent, pos);
            pos = parent;
        }
    }
    else {
        while (pos > 0) {
            int parent = (pos - 1) >> 1; // same as (pos - 1) / 2
            if (element[parent] >= element[pos]) {
                break;
            }
            swap(parent, pos);
            pos = parent;
        }
    }
}

void MinMaxHeap::Pop() {
    element[0] = element[--size];
    int pos = 0;

    if (is_min) {
        while (pos < (size >> 1)) // if pos >= (size / 2), then element[pos] must be a leaf
        {
            int left_child = pos * 2 + 1;
            int right_child = left_child + 1;
            int smallest_child;

            if (right_child < size && element[left_child] > element[right_child]) {
                smallest_child = right_child;
            }
            else {
                smallest_child = left_child;
            }

            if (element[pos] < element[smallest_child]) {
                break;
            }
                
            swap(pos, smallest_child);
            pos = smallest_child;
        }
    }
    else {
        while (pos < (size >> 1)) // if pos >= (size / 2), then element[pos] must be a leaf
        {
            int left_child = pos * 2 + 1;
            int right_child = left_child + 1;
            int biggest_child;

            if (right_child < size && element[left_child] < element[right_child]) {
                biggest_child = right_child;
            }
            else {
                biggest_child = left_child;
            }

            if (element[pos] > element[biggest_child]) {
                break;
            }

            swap(pos, biggest_child);
            pos = biggest_child;
        }
    }
}

void MinMaxHeap::swap(int index1, int index2) {
    int tmp = element[index1];
    element[index1] = element[index2];
    element[index2] = tmp;
}

int main() {
    ifstream fin;
    fin.open("Median.txt");

    MinMaxHeap MinHeap(true);
    MinMaxHeap MaxHeap(false);
    // because we want to find the median, so insert
    // both min of int and max of int is ok.
    MinHeap.Insert(numeric_limits<int>::max());
    MaxHeap.Insert(numeric_limits<int>::min());

    int input, sum = 0, min_top, max_top;
    string tmp;
    while (getline(fin, tmp)) {
        input = atoi(tmp.c_str());
        min_top = MinHeap.Top();
        max_top = MaxHeap.Top();
        if (input < max_top) {
            MaxHeap.Insert(input);
        }
        else {
            MinHeap.Insert(input);
        }
        // balance
        if (MaxHeap.Size() > MinHeap.Size() + 1) {
            max_top = MaxHeap.Top();
            MaxHeap.Pop();
            MinHeap.Insert(max_top);
        }
        if (MinHeap.Size() > MaxHeap.Size() + 1) {
            min_top = MinHeap.Top();
            MinHeap.Pop();
            MaxHeap.Insert(min_top);
        }
        //find the median
        if (MinHeap.Size() == MaxHeap.Size() + 1) {
            sum += MinHeap.Top();
        }
        else {
            sum += MaxHeap.Top();
        }
    }

    cout << sum % 10000 << endl;
    fin.close();
    system("pause");
    return 0;
}

通过这个方法，运算效率大大提升。