洛谷 P2822 组合数问题

P2822 组合数问题（来自小破谷的第一道绿题）

题目描述

输入格式

第一行有两个整数 t,kt,k，其中 tt 代表该测试点总共有多少组测试数据，kk 的意义见问题描述。

接下来 tt 行每行两个整数 n,mn,m，其中 n,mn,m 的意义见问题描述。

输出格式

说明/提示

我们知道，在二项式定理中，每一项的二项式系数都相应的对应着杨辉三角的某一行

如图：

本题的测试点只在2000的范围内，所以可以打表，将2000以内的排列数全部求出来。

之后如果用二次遍历来排查能不能整除，复杂度会比较大，会有可能爆时间（事实上也爆时间了），只能得90分，

但是，可以用求前缀和来简化，

 本题的前缀和公式也相应地是：s[x][y]=b[x-1][y]+b[x][y-1]-b[x-1][y-1] ；

在这道题中，要求红色三角形右下方的元素的前缀和，就是整个红色三角形所包含的元素的加和

而这个红色部分的左侧元素有一前缀和为黄色三角形所示部分，其上面的元素亦有前缀和为绿色三角形

再加上此元素本身，就可构成一个整体的前缀和，但是，在绿色三角形和黄色三角形的部分，所表示的三角形前缀和

有一定的重叠部分，这个部分需要减去，那么这个前缀和即为紫色三角形，即为sum[i-1][j-1]的前缀和

固有此公式：s[x][y]=b[x-1][y]+b[x][y-1]-b[x-1][y-1] ；

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<math.h>
using namespace std;

int k,a[5000][5000];
int s[5000][5000];

void st(int k)
{
    a[1][1]=1;//设置初始状态
    
    for(int i=1;i<=2000;i++)
    {
        a[i][0]=1;
    }
    
    for(int i=2;i<=2000;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            a[i][j]=(a[i-1][j-1]%k+a[i-1][j]%k)%k;//杨辉三角的求和公式，记得模k，以防爆炸QAQ
        }
    }
    
    for(int i=2;i<=2000;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1];//求杨辉三角的每一项符合条件的前缀和
            
            if(a[i][j]==0)
            {
                s[i][j]++;//计算元素本身
            }
        }
        
        s[i][i+1]=s[i][i];//当元素在左右两侧时，该元素的值为1，那么必然没有它自己，同时，他的前缀和的上方元素也是1，也就是说，他的前缀和就是它的前一位元素的前缀和
    }
}

int main(void)
{
    int t,k;
    
    cin>>t>>k;
    
    st(k);
    
    while(t--)
    {
        int n,m;
        
        cin>>n>>m;
        
        if(m>n)  cout<<s[n][n]<<endl;
        else  cout<<s[n][m]<<endl;
    }
    
    return 0;
}

这里相应的，只要输出s[n][m]，即输出前缀和，即可得到正确答案。

这里的优化，最关键的就是这里的前缀和求值，重在理解！！！

可以理解为：

用局部面积之和，再加上自己，减去重复的地方，即得前缀和。

这里，每一部分上色的区域中，右下角的矩形即为当前要求的前缀和，他可以由另外的三部分上色的矩形得到，但是在计算的时候会算重一次，双色的矩形，故应减去

 最后：感谢 @SXY大佬，%%%

更为详细的拓展的大佬的博客链接：https://www.cnblogs.com/sxy2004/p/12511488.html