/*
两个瓶子里都装了n个糖果；从第一个瓶子拿的概率是p
当你再拿糖果的时候，发现瓶子空了
求这时候另外一个瓶子的剩余的糖果的数量的期望
计算过程会造成上溢和下溢
用log就不会了
*/
#include<math.h>
#include<stdio.h>
double lognjie[400010];
double logC(int n,int m)
{
return lognjie[n]-lognjie[m]-lognjie[n-m];//c(n,m)=n!/((n-m)!*m!) log(c(n,m))=log(n!)-log(m!)-log((m-n)!)
}
int main()
{
int i,n,index=1;
double p,q;
lognjie[0]=0;
for(i=1;i<=400000;++i)
{
lognjie[i]=lognjie[i-1]+log(1.0*i);//log(n!)=log((n-1)!)+log(n)
}
while(scanf("%d%lf",&n,&p)!=EOF)
{
double ret=0;
q=1-p;
for(i=0;i<=n;++i)//第二个盒子里边拿了i个 另外一个盒子取了n+1次
{
ret+=(n-i)*(exp(logC(n+i,i)+(n+1)*log(1.0*p)+i*log(1.0*q))+exp(logC(n+i,i)+(n+1)*log(1.0*q)+i*log(1.0*p)));
}
printf("Case %d: %.6lf\n",index++,ret);
}
return 0;
}
/*
期望公式Ε=∑ P * N p为概率 n为数量
P=p*C(n,m)*pn*(1-p)m-n
c(m,n)=c(m-1,n)*m/(m-n)
概率
m=0 p^(n+1)
m=1 p^(n+1)q
m=2 p^(n+1)q^2
q的幂通过循环何以控制
p的还需要补充
*/
#include<math.h>
#include<stdio.h>
double pro(int n,double p)
{
double zhong=1,ret=n*p;
for(int m=1;m<=n;++m)//从第二个瓶子取m个
{
zhong*=p*(1-p)*(m+n)/m;
ret+=(n-m)*zhong;
ret*=p;
}
return ret;
}
int main()
{
int n,index=1;
double p;
while(~scanf("%d%lf",&n,&p))
{
double ret=pro(n,p)+pro(n,1-p);
printf("Case %d: %.6lf\n",index++,ret);
}
return 0;
}