隐马尔可夫模型(HMM)

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本文结合了王晓刚老师的ENGG 5202 Pattern Recognition课程内容知识，和搜集的资料和自己理解的总结。

1 概述

隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）是结构最简单的贝叶斯网，这是一种著名的有向图模型，主要用于时序数据建模（语音识别、自然语言处理等数据在时域有依赖性的问题）。

如果考虑t时刻数据依赖于0到t-1时间段的所有数据，即，在计算复杂度上是不可行的。因此Markov Model假定只依赖于最近的几个观测数据。

下面先从一个直观的例子理解HMM：

假设有三个不同的骰子（6面、4面、8面），每次先从三个骰子里选一个，每个骰子选中的概率为，如下图所示，重复上述过程，得到一串数字[1 6 3 5 2 7]。这些可观测变量组成可观测状态链。

同时，在隐马尔可夫模型中还有一条由隐变量组成的隐含状态链，在本例中即骰子的序列。比如得到这串数字骰子的序列可能为[D6 D8 D8 D6 D4 D8]。

隐马尔可夫模型示意图如下所示：

图中，箭头表示变量之间的依赖关系。在任意时刻，观测变量（骰子点数）仅依赖于状态变量（哪类骰子），“观测独立性假设”。

同时，t时刻数据依赖于t-1时刻的数据。这就是1阶马尔可夫链，即系统的下一时刻的状态仅由当前状态决定不依赖以往的任何状态（无记忆性），“齐次马尔可夫性假设”。

0阶Markov Model：

1阶Markov Model：

 

2阶Markov Model：

 

1阶HMM

包含状态变量（也叫latent variable，该变量是离散的、未知的、待推断的）和观测变量（该变量可以是离散的、也可以是连续的）,如下图所示：

其联合分布：

1.2 HMM中的条件独立（在后续算法推导中非常重要）

从概率图模型上给出条件独立的式子非常简单，即遮住某一节点，被分开的路径在给定该节点时独立。

上面六个式子，前五个式子很容易从图模型中理解。最后一个式子可以将左边写成和的乘积，然后再将做分解。

假定每个状态有三种取值，比如上面骰子的种类。参数如下图所示：

初始状态参数

状态转移概率,即

观测概率（也叫emission probablity），即时刻t、状态的概率

2 隐马尔可夫模型三要素

以上三个参数构成隐马尔可夫模型三要素：

状态转移概率矩阵A，

观测概率矩阵B，

初始状态概率向量

一个隐马尔可夫模型可由来指代。

3 隐马尔可夫模型的三个基本问题

（1） 给定模型，计算其产生观测序列的概率, 称作evaluation problem，比如：计算掷出点数163527的概率

（2） 给定模型和观测序列，推断能够最大概率产生此观测序列的状态序列，即使求解，称作decoding problem，比如：推断掷出点数163527的骰子种类

（3） 给定观测序列，估计模型的参数，使计算其产生观测序列的概率最大，称作learning problem，比如：已知骰子有几种，不知道骰子的种类，根据多次掷出骰子的结果，反推出骰子的种类

这三个基本问题在现实应用中非常重要，例如根据观测序列推测当前时刻最有可能出现的观测值，这就是基本问题（1）；

在语音识别中，观测值为语音信号，隐藏状态为文字，根据观测信号推断最有可能的状态序列，即基本问题(2)；

在大多数应用中，人工指定参数模型已变得越来越不可行，如何根据训练样本学得最优参数模型，就是基本问题(3)。

4 三个基本问题的解法

基于两个条件独立假设，隐马尔可夫模型的这三个基本问题均能被高效求解。

4.1 基本问题（1）evaluation problem解法

4.1.1 直接计算法(概念上可行，计算上不可行)

通过列举所有可能的长度为T的状态序列，求各个状态序列与观测序列同时出现的联合概率，然后对所有可能求和。

计算复杂度，C是状态个数。算法不可行。

4.1.2 前向算法(t=1,一步一步向前计算)

前向概率，表示模型，时刻 t，观测序列为且状态为的概率。

注意求和式中有K项（Z的状态数），计算复杂度为C*C。

通过上式可知，为了得到前向概率，可以先初始化t=1时刻的概率，然后从第一个节点开始递推计算，每次递推都需要计算一次c*c的的操作，因此总的算法复杂度是（C和K相同）

4.1.3 后向算法

后向概率，表示模型，时刻 t，观测序列为且状态为的概率。

推导过程：

通过上式可知，为了得到后向概率，可以先初始化t=T时刻的概率，然后从最后一个节点向前递推计算，每次递推都需要计算一次c*c的的操作，因此总的算法复杂度是（C和K相同）

算法高效的关键是其局部计算前向概率，根据路径结构，如下图所示，每次计算直接利用前一时刻计算结果，避免重复计算，减少计算量。

利用前向概率和后向概率可以计算：

整个观测序列的概率：

给定观测序列，t时刻的状态后验概率：

给定观测序列，t时刻从某一状态，在t+1时刻转换成新的状态的后验概率：

4.2 基本问题（2）decoding problem解法

4.2.1 近似算法

选择每一时刻最有可能出现的状态，即根据上述计算t时刻的状态后验概率，选择概率最大的状态，从而得到一个状态序列。这个方法计算简单，此方法但是不能保证整个状态序列的出现概率最大。因为可能两个相邻的状态转移概率为0，即实际上不可能发生这种状态转换。

4.2.2 Viterbi算法

使用动态规划求解概率最大（最优）路径。t=1时刻开始，递推地计算在时刻t状态为i的各条部分路径的最大概率，直到计算到时刻T，状态为i的各条路径的最大概率，时刻T的最大概率即为最优路径的概率，最优路径的节点也同时得到。

如果还不明白，看一下李航《统计学习方法》的186-187页的例题就能明白算法的原理。

考虑一个表格数据结构，存储着t时刻时，状态为j的能够产生观测序列的最大概率值。

t=1时，

t>1时

          

维特比算法：

使用记录求解的状态序列。

维特比算法图示：

状态[3 3 3]极为概率最大路径。

4.3 基本问题（3）解法

4.3.1 监督学习方法

给定T个长度相同的（观测序列，状态序列）作为训练集，使用极大似然估计法来估计模型参数。

转移概率 的估计:样本中t时刻处于状态i，t+1时刻转移到状态j的频数为，则

观测概率和初始状态概率的估计类似。

4.3.2 Baum-Welch算法

使用EM算法得到模型参数估计式

EM算法是常用的估计参数隐变量的利器，它是一种迭代方法，基本思想是：

（1） 选择模型参数初始值；

（2） (E步)根据给定的观测数据和模型参数，求隐变量的期望；

（3） (M步)根据已得隐变量期望和观测数据，对模型参数做极大似然估计，得到新的模型参数，重复第二步。

作业题：

第一问用于理解HMM产生数据的过程，第二问用于理解维特比算法。

自己写的答案（运行结果如上图）：

import numpy
import random

def random_pick(pick_list,probability_list):
    x=random.uniform(0,1)
    cumulative_probability=0.0
    for item,item_probability in zip(pick_list,probability_list):
        cumulative_probability+=item_probability
        if x < cumulative_probability: break
    return item

Zt=[1,2]
Pi=[0.6,0.4]
Xt=[1,2,3]
a1j=[0.7, 0.3]
a2j=[0.4, 0.6]
b1j=[0.1, 0.4, 0.5]
b2j=[0.6, 0.3, 0.1]
x=[-1 for n in range(10)]
z=[-1 for n in range(10)]
#for function test
#temp_counter = 0
#for i in range(100):
#    if random_pick(Zt,Pi) == 1: temp_counter+=1
#print(temp_counter)
##for function test

z[0] = random_pick(Zt,Pi)
for i in range(10):
    if z[i] == 1:
        x[i] = random_pick(Xt, b1j)
        if i < 9: z[i+1] = random_pick(Zt, a1j)
    else:
        x[i]= random_pick(Xt, b2j)
        if i < 9: z[i+1]= random_pick(Zt, a2j)
print(z)
print(x)

bp=[-1 for n in range(10)]
Fi=[[-1,-1] for n in range(10)]
for i in range(2):
    if i == 0:
        Fi[0][0]=Pi[i]*b1j[x[0]-1]
        print('Fi00',Fi[0][0])
    elif i == 1:
        Fi[0][1]=Pi[i]*b2j[x[0]-1]
        print('Fi01',Fi[0][1])
if Fi[0][0] < Fi[0][1]:
    bp[0] = 1
else:
    bp[0] = 0
    
for t in range(9):
    for j in range(2):
        if j == 0:
            if bp[t] == 0: 
                 Fi[t+1][j]=Fi[t][0]*a1j[0]*b1j[x[t+1]-1]
            elif bp[t] == 1:
                Fi[t+1][j]=Fi[t][1]*a2j[0]*b1j[x[t+1]-1]
        if j == 1:
            if bp[t] == 0: 
                Fi[t+1][j]=Fi[t][0]*a1j[1]*b2j[x[t+1]-1]
            elif bp[t] == 1:
                Fi[t+1][j]=Fi[t][1]*a2j[1]*b2j[x[t+1]-1]
    print('Fit0',Fi[t+1][0])
    print('Fit1',Fi[t+1][1])
    if Fi[t+1][0] < Fi[t+1][1]:
        bp[t+1] = 1
    else:
        bp[t+1] = 0

print(bp)#z=bp+1

参考资料：

CUHK 王晓刚老师的ENGG 5202 Pattern Recognition 课堂讲义

《机器学习》周志华

《统计学习方法》李航

如何用简单易懂的例子解释隐马尔可夫模型https://www.zhihu.com/question/20962240

《Pattern Classification》

《PRML》