HDU 2824 The Euler function (欧拉函数)

The Euler function

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Problem Description

The Euler function phi is an important kind of function in number theory,  (n) represents the amount of the numbers which are smaller than n and coprime to n, and this function has a lot of beautiful characteristics. Here comes a very easy question: suppose you are given a, b, try to calculate  (a)+ (a+1)+....+ (b)

 

Input

  There are several test cases. Each line has two integers a, b (2<a<b<3000000).

 

Output

    Output the result of  (a)+ (a+1)+....+ (b)

 

Sample Input

3 100

 

Sample Output

3042

 

Source

2009 Multi-University Training Contest 1 - Host by TJU

 

 

解析：（转）

定义：对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中，与n互质的数的数目。

　　　　例如：φ(8)=4，因为1，3，5，7均和8互质。

性质：1.若p是质数，φ(p)= p-1.

　　　2.若n是质数p的k次幂，φ(n)=(p-1)*p^(k-1)。因为除了p的倍数都与n互质

　　　3.欧拉函数是积性函数，若m,n互质，φ(mn)= φ(m)φ(n).

　　根据这3条性质我们就可以推出一个整数的欧拉函数的公式。因为一个数总可以写成一些质数的乘积的形式。

　　E(k)=(p1-1)(p2-1)...(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))...(pi^(ai-1))

　　　　= k*(p1-1)(p2-1)...(pi-1)/(p1*p2*...*pi)

　　　　= k*(1-1/p1)*(1-1/p2)...(1-1/pk)

在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值（a为N的质因素）

　　若( N%a ==0&&(N/a)%a ==0)则有：E(N)= E(N/a)*a;

　　若( N%a ==0&&(N/a)%a !=0)则有：E(N)= E(N/a)*(a-1);

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N=3000010;

int prime[N],isprime[N];
int phi[N];

void get_phi(){
    int i,j,cnt=0;
    for(i=2;i<N;i++){
        if(isprime[i]==0){
            prime[cnt++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(j=0;j<cnt && i*prime[j]<N;j++){     //注意这里，i*prime[j]<N 可换成 prime[j]<=N/i（带等号）
            isprime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
            else
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}

int main(){

    //freopen("input.txt","r",stdin);

    long long sum;
    int a,b;
    get_phi();
    while(~scanf("%d%d",&a,&b)){
        sum=0;
        for(int i=a;i<=b;i++)
            sum+=phi[i];
        cout<<sum<<endl;
    }
    return 0;
}