XDTIC2019招新笔试题 + 官方解答

腾讯创新俱乐部2019年招新笔试试题

 
[1] 小宗学长正在努力学习数论，他写下了一个奇怪的算式：

[2019^{2018^{2017^{dots^{2^1}}}} ]

算式的结果一定很大，所以他只让你求出这个数的后三位，聪明的你能帮帮小宗学长吗？

提示： ((20)19^5) 结果后三位为 (099)

[2] 腾讯的吉祥物想给自己造一套海景别墅，可他自己太懒了，于是抓了一批壮丁来造房子，他要求那些壮丁必须七天造好房子，否则就封他们 (QQ) 号，不过可爱的吉祥物很讲道理，他决定拿金条当报酬。吉祥物寻思着每天给工人们发 (frac17) 的金条这个想法不错，可我们得原谅吉祥物实在是太懒了，只想给金条切两刀，请问吉祥物该怎么切金条才好呢？

[3] (dyx)学长带着2颗鸡蛋爬上了一栋100层的大楼，现在已知一个鸡蛋从第 (k) 层及以上的楼层落下来会摔破，在第 (k) 层以下的楼层落下则不会摔破。他想知道在最坏情况下，最少扔多少次鸡蛋才能确定 (k) 的大小。

[4] 一群吉祥物表演杂技走钢丝，钢丝长50米，从东向西看，吉祥物们分别分布在钢丝的(4)米、(17)米、(19)米、(28)米、(44)米处。表演开始时，吉祥物们同时以 (1m/s) 的速度向左或向右走，两只吉祥物相遇时，则同时掉头往反方向走，走到钢丝尽头则被热气球接走。考虑所有情况，最晚被接走的吉祥物在钢丝上停留的最长时间可能是多少？对于一般情况，给定 (n) 只吉祥物的初始位置坐标 (x_1, x_2, x_3, dots, x_n) ，吉祥物被接走的最早和最晚时刻分别在什么时候？

[5] 某高校举办三行情书大赛，数学系一男生浪漫的写道：

高斯拿走了我的尺规 / 我只好 / 徒手为你画眉

现在假设你高冷的数学女神给你一个圆规，并在纸上画了两个点 (A) 和 (B) ，你能想办法只用圆规作出线段 (AB) 的中点 (C) ，博她开心一笑吗？

提示：先作出点 (D) ，满足 (vec{AD} = 2vec{AB})

[6] 俱乐部主席箱箱学长最近很想玩游戏，于是他决定和你一起玩，游戏是这样的：他带来了一堆糖果，两个人轮流从其中拿走一定数量的糖果，拿走最后所有糖果的人为赢家，不过得遵循如下规则：

• 第一次取不能取完，至少取(1)颗
• 从第二次开始，每个人取的糖果数至少为(1)，至多为对手刚取的糖果数的两倍

现在让你开始先拿糖果，如果你赢了就能获得全部糖果，输了的话箱箱会收回他的全部糖果。

如果桌上摆着 (13) 颗糖果，你会来尝试挑战吗？如果糖果数量为任意正整数 (n)，你能想出赢得全部糖果的必胜方案吗？

[7] 好奇的周队发现了一个神奇的(22)位数，它的个位数是(7)。当她用(7)去乘这个(22)位数时，发现它的积仍然是个(22)位数，只是个位数的(7)移到了第一位，其余(21)个数字的排列顺序还是原来的样子。请问这个神奇的(22)位数是多少？

提示：这道题如果用字母来代表数字，列成算式是：

(ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTU7×7=7ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTU)

[8] TIC里有位大佬，每次在群里出现时所有人都会惊呼：“zk大佬来水群了！！！”，但是wzk是一个非常低调的大佬，他不希望群里一堆菜鸡吹捧自己。于是他以大佬的身份宣布凡是在群里讨论wzk的人（每次提到wzk必是一句完整的“wzk!wzk!wzkNB!”）都会被他用小本本记住。那么问题来了，wzk又是怎么快速察觉到有人讨论他呢？(此题假设TIC群里所有的话都是由字母和符号构成)

请写出用计算机快速判断是否讨论了wzk的方法。

例如：判断wzkwzk!!wzawzk!wzk!NBwzk!! 和 wzk!wzk!wzk!wzkNB两句话中是否谈及wzk（计算机判断字母或者符号是否相同只能一个一个对比）

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腾讯创新俱乐部2019年招新笔试答案

问题1

[099^{10} = (100-1)^{10} equiv 1 ext{ mod } 1000\ 2019^{50} equiv 1 ext{ mod } 1000 ]

​ 现在问题转化为求 (2018^{2017^{dots^{2^1}}}) 对 50 取余的结果

笔算过程：

19的幂的后三位数周期是50，2018的幂模50周期是4。
2017模4等于1，从1到2016那些数都没用。
19的18次方模1000等于841，这就是答案。

代码实现：

欧拉定理降幂公式 当(B ge varphi (C)) 时， (A^B \% C = A^{(B\% varphi(C)) + varphi(C)} \% C)

递归计算得到结果

typedef long long ll;
const int maxn = 3000;
int pri[maxn], tot;
bool vis[maxn];
int phi[maxn];

// 欧拉线性筛
void getPhi(int n) {
	vis[1] = 1;
    phi[1] = 1;
    for(int i=2;i<=n;i++) {
        if(!vis[i]) {
            pri[++tot] = i;
            phi[i] = i-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot && i*pri[j]<=n;j++) {
            vis[i*pri[j]] = 1;
            if(i%pri[j]==0) {
                phi[i*pri[j]] = pri[j] * phi[i];
                break;
            } else {
                phi[i*pri[j]] = phi[pri[j]] * phi[i];
            }
        }
    }
}

// 快速幂求 a^n % p
ll powmod(ll a, ll n, ll p) {
    ll res = 1;
    while(n) {
        if(n&1) res = res * a % p;
        a = a * a % p;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

ll f(ll a, ll p) {
    if(p==1) return 0;
    if(a==1) return 1;

    ll exp = f(a-1, phi[p]) + phi[p];
    return powmod(a, exp, p);
}
// getPhi(2019)
// f(2019, 1000) ==> 841

问题2

​ 分为 (1over7)，(2over7) 和 (4over7) 三部分。

问题3

方法一：

找规律

设 (f[n]) 表示 (n) 层楼，最少扔鸡蛋次数。

(f[1] = 1)

(f[2] = 2, f[3] = 2)

$ f[4] = 3, f[5] = 3, f[6] = 3$

$ f[7] = 4,f[8] = 4 ,f[9] = 4 ,f[10] = 4$

(dots)

于是 (f[100] = 14)

方法二：

设 (f[n][k]) 表示 (n) 层楼，(k) 个鸡蛋情况下找到答案的最少扔鸡蛋次数。

显然，只有一个鸡蛋时，必须从低层往高层逐层试验，有

[f[n][1] = n ]

有两个鸡蛋时，第一次先从某一层 (i) 扔下，如果碎了，就只剩一个鸡蛋，此时答案为 (1 + f[i-1][1])；

没有碎的话，问题相当于求解 (f[n-i][2]) 。最坏情况下，我们要取两者的最大值为试验次数。

最优解为 (i) 取 1~100 所有尝试的最小值。

所以

[f[n][2] = min(f[n][2], 1+max(f[i-1][1], f[n-i][2])) ]

即

[f[n][2] = min(f[n][2], 1+max(i-1, f[n-i][2])) ]

(f[0][2] = 0) ， (f[1][2] = 1) , (f[2][2] = 1) ，… ，递推得到(f[100][2]) 。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int inf = 1000000;
int dp[110][5];

int f(int n, int k) {
	if(n==0) return 0; 
	if(k==1) return n;
	if(n==1) return 1;
	if(dp[n][k]!=-1) return dp[n][k];
	
	int ans = inf;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		ans = min(ans, 1 + max(f(i-1, k-1), f(n-i, k)));
	}
	return dp[n][k] = ans;
}

int main() {
   	memset(dp, -1, sizeof(dp));
   	cout<<f(100, 2)<<endl;
    return 0;
}

问题4

​ 两只吉祥物相遇时同时掉头可视为它们穿过对方继续前进，故离另一端最远的吉祥物在钢丝上停留的时间最长。即，例如当位于4米处的吉祥物一开始向西走，其它吉祥物一开始向东走时，在钢丝上停留最久的吉祥物时间可能是（50-4）/ 1 = 46s。

​ 找出最小的 (x_i) 和最大的 (x_j) ，ans1 = min( (x_i) , 50 - (x_j) )，ans2 = max( 50 - (x_i) , (x_j) )

问题5

​ 以 D 为圆心 ，AD 为半径画圆，与圆 A 交 E, F ；

​ 以 E 为圆心， EA 为半径画圆， 以F为圆心，FA 为半径画圆，交点 C 即为所求。

证明：

​ ( riangle ACE) 相似于$ riangle AED$ (Rightarrow) (AC cdot AD = AEcdot AE) (Rightarrow) (AC = {1over 2} AB = {1over 2} AE)

问题6

​ 斐波那契博弈，当糖果数量为斐波那契数时，先手必败。

[egin{align} & Fib[0] = 0, Fib[1] = 1\ & Fib[n] = Fib[n-1] + Fib[n-2], n>=2 end{align} ]

​ 证明略。

问题7

​ 由低位往高位计算。

​ 答案：1014492753623188405797 * 7 = 7101449275362318840579

ans = '7'	# 结果
add = 0		# 进位
now = 7		# 当前位

for i in range(1, 22) :
	now = now*7 + add
	add = now // 10
	now = now % 10
	ans = str(now) + ans

res = ('7'+ans)[0:22]
if int(ans)*7 == int(res) :
	print('%s * 7 = %s' % (ans, res))

面试得到的新方法：

[(10*x + 7)*7 = 7*10^{21}+x ]

解得

[x = frac{7*10^{21}-49}{69} = 101449275362318840579 ]

所以

[ans = 10*x + 7 = 1014492753623188405797 ]

问题8

​ 字符串匹配，KMP算法 / 字符串哈希

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(END)