鬼畜的多项式

写点做多项式笔记以及遇到的各种蛋疼的东西....（不懂可以Q我辣我十分愿意！

（picks博客已经成为中国多项式入门到精通的经典教程辣！详见：http://picks.logdown.com/archives

多项式乘法：

裸的fft= =复数搞搞

数论变换的多项式乘法：

对于一些要对系数取模而取的模十分鬼畜即满足存在$k$，使得$2^k | (P-1) 且 2^k > n$时那么可以用一个$P$的原根代替复数根，即用$g^{frac{P-1}{m}}$代替fft里的单位根$omega ^{ frac{2 pi i}{m} }$。其逆为$n^{-1} g^{-frac{P-1}{m}}$。容易证明这是正确的。（可以照着算导对单位根的所需要性质然后来证明）

多项式求逆：

这个求逆指的是对一个$mod$特定次数的$x$求逆，例如求$A(x)$在模$x^n$下的逆，即求一个$B(x)$使得$A(x)B(x) equiv 1 pmod{x^n}$，这个用倍增的思想容易得到

$$ B_{n}(x) equiv B_{ left lceil frac{n}{2} ight ceil } left( 2 - A(x)B_{ left lceil frac{n}{2} ight ceil } ight) pmod{x^n} $$

$B_{n}(x)$指的是在模$x^n$下的$A$的逆

这里一定注意在码的时候，右式得到的次数界应该大于等于$n+n$（在这里大于的部分被模掉了！）的啊...不要以为是$n+left lceil frac{n}{2} ight ceil +1$啊555，在这里wa了好多发啊QAQ

多项式除法+取模：

指的是给出$A(x), B(x)$求$A(x) = B(x)C(x) + D(x)$，其中满足$deg(A)=deg(B)+deg(C), deg(D)<deg(B)$

这里需要用点技巧orz如果能想到翻转多项式那么这题就好做了orz令$F^{R}(x)$表示将多项式$F(x)$系数前后翻转后的多项式，即$F^{R}(x) = x^{deg(F)} F(frac{1}{x})$。那么我们将$frac{1}{x}$先带入$A(x) = B(x)C(x) + D(x)$并乘上一个$x^{deg(A)}$最后化简能得到就能得到

$$A^R(x) equiv B^R(x)C^R(x) pmod{x^{deg(A)-deg(B)}}$$

取模也相应解决了

多项式开根：

指的是在模$x^n$的意义下给出$A(x)$，求$sqrt{A(x)}$。那么能开根的条件就是$A(x)$的最低次是2的倍数且系数能被开根。

如果想到倍增这个问题也是很好解决的...最终得到

$$A equiv left( 2^{-1} A_{ left lceil frac{n}{2} ight ceil } + 2^{-1} A A_{ left lceil frac{n}{2} ight ceil }^{-1} ight)^2 pmod{x^n}$$

下标的意义同求逆那里。（$A_{t}$表示$A_{t}^2 equiv A pmod{x^t}$

要注意的和求逆那里一样，右式次数界同样是大于等于$n+n$且求逆的时候是取模$x^n$下的逆，因为$A_{ left lceil frac{n}{2} ight ceil }^{-1}$的次数界可能为$n$。

对应的例题看picks博客辣= =

多项式求逆：【BZOJ】3456: 城市规划

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=130050, fN=N<<2;
const ll mo=1004535809;
ll G[35], nG[35];
int rev[fN];
ll ipow(ll a, int b) { ll x=1; for(; b; b>>=1, (a*=a)%=mo) if(b&1) (x*=a)%=mo; return x; }
void fft(ll *a, int n, int f) {
	for(int i=0; i<n; ++i) if(i<rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);
	int now=-1;
	for(int m=2; m<=n; m<<=1) {
		int mid=m>>1; ++now;
		ll wn=G[now]; if(f) wn=nG[now];
		for(int i=0; i<n; i+=m) {
			ll w=1;
			for(int j=0; j<mid; ++j) {
				ll u=a[i+j], v=a[i+j+mid]*w%mo;
				a[i+j]=(u+v)%mo;
				a[i+j+mid]=(u-v+mo)%mo;
				(w*=wn)%=mo;
			}
		}
	}
}
ll tmp[fN];
void getinv(ll *A, ll *B, int n) {
	if(n==1) { B[0]=ipow(A[0], mo-2); return; }
	getinv(A, B, (n+1)>>1);
	int len=1, bl=-1, nn=(n<<1)-1;
	for(; len<nn; len<<=1, ++bl);
	for(int i=1; i<len; ++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(((ll)i&1)<<bl);
	for(int i=0; i<n; ++i) tmp[i]=A[i]; for(int i=n; i<len; ++i) tmp[i]=0;
	fft(tmp, len, 0); fft(B, len, 0);
	for(int i=0; i<len; ++i) B[i]=B[i]*((2-tmp[i]*B[i]%mo+mo)%mo)%mo;
	fft(B, len, 1); ll nN=ipow(len, mo-2);
	for(int i=0; i<n; ++i) (B[i]*=nN)%=mo; for(int i=n; i<len; ++i) B[i]=0;
}
ll ni[N], p[N], A[fN], B[fN], nA[fN];
int main() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	if(n<=2) { puts("1"); return 0; }

	int len=1, bl=-1, nn=((n+1)<<1)-1;
	for(; len<nn; len<<=1, ++bl);
	G[bl]=ipow(3, (mo-1)/len); nG[bl]=ipow(G[bl], mo-2);
	for(int i=bl-1; i>=0; --i) G[i]=G[i+1]*G[i+1]%mo, nG[i]=nG[i+1]*nG[i+1]%mo;
	ni[1]=1; p[1]=1; p[0]=1;
	for(int i=2; i<=n; ++i) ni[i]=((-(mo/i)*ni[mo%i])%mo+mo)%mo;
	for(int i=2; i<=n; ++i) p[i]=p[i-1]*ni[i]%mo;
	A[0]=1, B[0]=0;
	ll last=1, C=1;
	for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=last*p[i]%mo, B[i]=last*p[i-1]%mo, last=last*((C<<=1)%=mo)%mo;
	getinv(A, nA, n+1);
	for(int i=1; i<len; ++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(((ll)i&1)<<bl);
	fft(nA, len, 0); fft(B, len, 0);
	for(int i=0; i<len; ++i) (B[i]*=nA[i])%=mo;
	fft(B, len, 1); ll nN=ipow(len, mo-2);
	for(int i=0; i<=n; ++i) (B[i]*=nN)%=mo;
	ll pp=1;
	for(int i=2; i<=n; ++i) (pp*=(i-1))%=mo, (B[i]*=pp)%=mo;
	printf("%lld
", B[n]);
	return 0;
}

　　

多项式除法+取模：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define CC(a, b) memset(a, 0, sizeof(int)*(b))
const int N=130005, fN=N<<2, BN=30, mo=1004535809, n_G=3;
int G[BN], nG[BN], rev[fN];
int ipow(int a, int b) { int x=1; for(; b; b>>=1, a=(ll)a*a%mo) if(b&1) x=(ll)x*a%mo; return x; }
void P(int *a, int n) { for(int i=n-1; i>=0; --i) printf("%d ", a[i]); puts(""); }
void fft_init() {
	G[21]=ipow(n_G, (mo-1)/(1<<21)); nG[21]=ipow(G[21], mo-2);
	for(int i=20; i; --i) G[i]=(ll)G[i+1]*G[i+1]%mo, nG[i]=(ll)nG[i+1]*nG[i+1]%mo;
}
int getlen(int n) {
	int len=1, b=-1;
	for(; len<n; len<<=1, ++b);
	for(int i=0; i<len; ++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<b);
	return len;
}
void fft(int *a, int n, int f) {
	for(int i=0; i<n; ++i) if(i<rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);
	for(int m=2, now=1; m<=n; m<<=1, ++now) {
		int mid=m>>1, wn=G[now], w, u, v; if(f) wn=nG[now];
		for(int i=0; i<n; i+=m) {
			w=1;
			for(int j=0; j<mid; ++j) {
				u=a[i+j], v=(ll)a[i+j+mid]*w%mo;
				a[i+j]=(u+v)%mo; a[i+j+mid]=(u-v+mo)%mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
}
void mul(int *a, int *b, int *c, int n, int m, int &k) {
	int len=getlen((n+m)-1), nlen=ipow(len, mo-2);
	static int x[fN], y[fN];
	for(int i=0; i<n; ++i) x[i]=a[i];
	for(int i=0; i<m; ++i) y[i]=b[i];
	fft(x, len, 0); fft(y, len, 0);
	for(int i=0; i<len; ++i) y[i]=(ll)y[i]*x[i]%mo;
	fft(y, len, 1);
	k=n+m-1;
	for(int i=0; i<k; ++i) c[i]=(ll)y[i]*nlen%mo;
	while(k && c[k-1]==0) --k;
	CC(x, len); CC(y, len);
}
void getinv(int *a, int *b, int n) {
	if(n==1) { b[0]=ipow(a[0], mo-2); return; }
	getinv(a, b, (n+1)>>1);
	static int c[N], d[N];
	memcpy(c, a, sizeof(int)*(n)); memcpy(d, b, sizeof(int)*((n+1)>>1));
	int len=getlen(n+n-1), nlen=ipow(len, mo-2);
	fft(c, len, 0); fft(d, len, 0);
	for(int i=0; i<len; ++i) d[i]=(ll)d[i]*(2-(ll)d[i]*c[i]%mo+mo)%mo;
	fft(d, len, 1);
	for(int i=0; i<n; ++i) b[i]=(ll)d[i]*nlen%mo;
	CC(c, len); CC(d, len);
}
void div(int *a, int *b, int *c, int n, int m, int &k) {
	static int ar[fN], br[fN], nbr[fN];
	if(n<m) { k=1; return; }
	for(int i=0; i<n; ++i) ar[i]=a[n-i-1]; 
	for(int i=0; i<m; ++i) br[i]=b[m-i-1]; 
	k=n-m+1;
	getinv(br, nbr, k);
	int len=getlen(n+n-1), nlen=ipow(len, mo-2);
	fft(ar, len, 0); fft(nbr, len, 0);
	for(int i=0; i<len; ++i) nbr[i]=(ll)ar[i]*nbr[i]%mo;
	fft(nbr, len, 1);
	for(int i=0; i<k; ++i) c[i]=(ll)nbr[k-i-1]*nlen%mo;
	while(k && c[k-1]==0) --k;
	CC(ar, len); CC(br, len); CC(nbr, len);
}
void getmod(int *a, int *b, int *r, int n, int m, int &k) {
	static int c[fN], t[fN], clen;
	div(a, b, c, n, m, clen);
	int len=getlen((clen+m)-1), nlen=ipow(len, mo-2);
	for(int i=0; i<m; ++i) t[i]=b[i];
	fft(t, len, 0); fft(c, len, 0);
	for(int i=0; i<len; ++i) c[i]=(ll)c[i]*t[i]%mo;
	fft(c, len, 1);
	for(int i=0; i<n; ++i) r[i]=(a[i]-(ll)c[i]*nlen%mo+mo)%mo;
	k=n; while(k && r[k-1]==0) --k;
	CC(c, len); CC(t, len); 
}
int main() {
	fft_init();

	return 0;
}

　　

多项式开根：【CF】438E. The Child and Binary Tree

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=(1e5+10)*4, mo=998244353;
int two, G[30], nG[30], rev[N];
int ipow(int a, int b) { int x=1; for(; b; b>>=1, a=(ll)a*a%mo) if(b&1) x=(ll)x*a%mo; return x; }
void fft_init() {
	two=ipow(2, mo-2); G[23]=ipow(3, (mo-1)/(1<<23)); nG[23]=ipow(G[23], mo-2);
	for(int i=22; i; --i) G[i]=(ll)G[i+1]*G[i+1]%mo, nG[i]=(ll)nG[i+1]*nG[i+1]%mo;
}
int getlen(int n) {
	int len=1, bl=-1;
	for(; len<n; len<<=1, ++bl);
	for(int i=1; i<len; ++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<bl);
	return len;
}
void fft(int *a, int n, int f) {
	for(int i=0; i<n; ++i) if(i<rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);
	for(int m=2, now=1; m<=n; m<<=1, ++now) {
		int mid=m>>1, w=1, wn=G[now], u, v; if(f) wn=nG[now];
		for(int i=0; i<n; i+=m, w=1) 
			for(int j=0; j<mid; ++j) {
				u=a[i+j], v=(ll)a[i+j+mid]*w%mo;
				a[i+j]=(u+v)%mo; a[i+j+mid]=(u-v+mo)%mo; w=(ll)w*wn%mo;
			}
	}
}
void getinv(int *a, int *b, int n) {
	if(n==1) { b[0]=ipow(a[0], mo-2); return; }
	getinv(a, b, (n+1)>>1);
	static int c[N], d[N];
	memcpy(c, a, sizeof(int)*(n)); memcpy(d, b, sizeof(int)*((n+1)>>1));
	int len=getlen(n+n-1), nlen=ipow(len, mo-2);
	fft(c, len, 0); fft(d, len, 0);
	for(int i=0; i<len; ++i) d[i]=(ll)d[i]*(2-(ll)d[i]*c[i]%mo+mo)%mo;
	fft(d, len, 1);
	for(int i=0; i<n; ++i) b[i]=(ll)d[i]*nlen%mo;
	memset(c, 0, sizeof(int)*(len)); memset(d, 0, sizeof(int)*(len));
}
void getroot(int *a, int *b, int n) {
	if(n==1) { b[0]=sqrt(a[0]); return; }
	getroot(a, b, (n+1)>>1);
	static int c[N], d[N];
	memcpy(c, a, sizeof(int)*(n));
	getinv(b, d, n);
	int len=getlen(n+n-1), nlen=ipow(len, mo-2);
	fft(c, len, 0); fft(d, len, 0);
	for(int i=0; i<len; ++i) d[i]=(ll)c[i]*d[i]%mo;
	fft(d, len, 1);
	for(int i=0; i<n; ++i) b[i]=(ll)two*((b[i]+(ll)d[i]*nlen%mo)%mo)%mo;
	memset(d, 0, sizeof(int)*(len)); memset(c, 0, sizeof(int)*(len));
}
int a[N], b[N];
int main() {
	fft_init();
	int m, n; scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i=0; i<n; ++i) { int x; scanf("%d", &x); if(x<=m) a[x]=mo-4; }
	a[0]=1;
	getroot(a, b, m+1);
	b[0]=(b[0]+1)%mo;
	getinv(b, a, m+1);
	for(int i=1; i<=m; ++i) printf("%d
", (a[i]<<1)%mo);
	return 0;
}