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设有N堆石子排成一排,其编号为1,2,3,…,N。 每堆石子有一定的质量,可以用一个整数来描述,现在要将这N堆石子合并成为一堆。 每次只能合并相邻的两堆,合并的代价为这两堆石子的质量之和,合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻,合并时由于选择的顺序不同,合并的总代价也不相同。 例如有4堆石子分别为 1 3 5 2, 我们可以先合并1、2堆,代价为4,得到4 5 2, 又合并 1,2堆,代价为9,得到9 2 ,再合并得到11,总代价为4+9+11=24; 如果第二步是先合并2,3堆,则代价为7,得到4 7,最后一次合并代价为11,总代价为4+7+11=22。 问题是:找出一种合理的方法,使总的代价最小,输出最小代价。 输入格式 第一行一个数N表示石子的堆数N。 第二行N个数,表示每堆石子的质量(均不超过1000)。 输出格式 输出一个整数,表示最小代价。 数据范围 1≤N≤300 输入样例: 4 1 3 5 2 输出样例: 22
解答
首先是暴力遍历思想.尝试各种合并方式,显然不是TLE 就是MLE。
但是在暴力遍历的过程中可以发现这么一个规律
1~n的石子合并操作中 如果最后合并的点是k
最后一次的合并的成本总和是
dp[1][n] = max(dp[1][2]+dp[2][n] + 1~n之间的所有石子的总和成本 , dp[1][3]+dp[4][n] + 1~n之间的所有石子的总和成本, dp[1][3]+dp[4][n] + 1~n之间的所有石子的总和成本 ........ );
推导出下式
dp[1][n] = max(dp[1][k]+dp[k+1][n] + 1~n之间的所有石子的总和成本 ); ( 1<=k <= n)
同样式子中的1~k k+1~n 也可以看做一段距离的石子合并 且并不互相影响,那么可以使用递归逐步缩小问题规模来解决掉这个问题
#include <iostream> using namespace std; const int N = 310; int arr[N]; int dp[N][N]; int n; int main() { cin >> n; for(int i = 1;i <=n;i++){ cin >> arr[i]; } for(int i =1;i <=n;i++){ arr[i] += arr[i-1]; } //从长度为2的石子合并开始计算 为后面的3 4 5长度DP计算好需要的dp数组 for(int len =2;len <=n;len++){ for(int i =1;i+len-1<=n;i++){ int j= i+len-1; dp[i][j] = 1e9; for(int k = i-1; k<=j-2;k++){ dp[i][j]= min(dp[i][j],dp[i][k+1]+dp[k+2][j]+arr[j]-arr[i-1]) ; } } } cout << dp[1][n] <<endl; return 0; }