acwing 002 零一背包问题

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题目描述
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

样例
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8

算法1
(初步动态规划)
最开始的动态规划想法 就是二维数组
dp[i][j]记录 在选择i个物品下 j背包容积下的最大价值
状态转移方程式

C++ 代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N= 1010;

int n,m;

int dp[N][N];
int v[N];
int w[N];

int main()
{
cin >> n >> m;

for(int i = 1;i <= n;i++){
cin >> v[i] >> w[i];
}

for(int i = 1;i<=n;i++){
for(int j = 1;j<=m;j++){
dp[i][j] = dp[i-1][j];
if(j >= v[i])
dp[i][j] = max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
}
}

cout << dp[n][m];


return 0; 
}

根据acwing up主的视频和网络上的《背包九讲》 空间存储上还可在优化
算法2
(进阶动态规划)
我们可以将二维DP降为一维DP
这个可以看做在i的循环情况下 我们每次计算j(容量)的可装的最大价值
那么初次进入i+1 的循环时候，我们需要利用i轮次的结果来计算i+1的结果
dp[i+1][j]在0 1 情况下只有两种可能 在上一轮的结果下 选择放入当前物品 或者不放入当前物品
1 不放入当前物品的话
那么 dp[i+1][j] = dp[i][j]; //利用上一轮的结果
2 放入当前物品的话
那么 dp[i+1][j] = dp[i][j-v[i]]+w[i]; //利用上一轮的结果

由于我们始终只需要最新的i+1层的结果 那么实际上可以使用一维数组dp[j]来记录每层的结果，
当从i层进入i+1层后，dp[i+1][j]的结果 实际可以使用dp[i][j]存储，其实就是 dp[j] = dp[j];j++(或者j–);

由于计算机语言的特性，在执行dp[j] = dp[j]的时候 我们必须保证等号右边的dp[j]是没被改动过的，这就要保证j是降序
因为dp[j]= max(dp[j],dp[j-v[i]]); dp[j]的赋值对低于j的[j-v[i]]有依赖，必须降序排列,才能保证赋值的时候等号右边的dp[j]是没被改动过的

C++ 代码

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N= 1010;

int n,m;

int dp[N];
int v[N];
int w[N];

int main()
{
cin >> n >> m;

for(int i = 1;i <= n;i++){
cin >> v[i] >> w[i];
}

for(int i = 1;i<=n;i++){
for(int j = m;j>= v[i];j--){
dp[j] = max(dp[j] , dp[j-v[i]]+w[i]);
}
}

cout << dp[m];

return 0; 
}

作者：defddr
链接：https://www.acwing.com/solution/acwing/content/2170/
来源：AcWing
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