https://www.bnuoj.com/v3/contest_show.php?cid=9148#problem/I
【题意】
给定n个操作数和n-1个操作符，组成一个数学式子。每次可以选择两个相邻操作数及中间的操作符进行运算，如a-b变成一个数(a-b)，直到这个式子变成一个数。同一个初始式子可以进行不同的操作，最后的结果也可能不同。最后求不同操作得到结果的和（mod 1000 000 007）
对于两个操作，只要存在一步是不同的，这两个操作就被认为是不同的。
【思路】
总体思路是区间dp,对于dp[i][j]，枚举k(i<=k<j),考察dp[i][k]和dp[k+1][j]
具体做的时候可以分别考虑*,+,-三种运算，用组合数学；
还有一种非常非常巧妙的办法：数学期望！
组合数学：
比较明显的区间dp，令dp[l][r]为闭区间[l,r]的所有可能的结果和，考虑最后一个符号的位置k，k必须在l,r之间，则l≤k<r，dp[l][r]=Σ{dp[l][k]?dp[k+1][r]}*(r-l-1)!/[(k-l)!(r-k-1)!]，其中(r-l-1)!/[(k-l)!(r-k-1)!]表示从左区间和右区间选择符号的不同方法总数（把左右区间看成整体，那么符号的选择在整体间也有顺序，内部的顺序不用管，那是子问题需要考虑的)，相当于(k-l)个0和(r-k-1)个1放一起的不同排列方法总数。
对花括号里面的‘?‘分为三种情况：
(1)‘+‘ 假设左区间有x种可能的方法，右区间有y种可能的方法，由于分配律的存在，左边的所有结果和会重复计算y次，右边的所有结果和会重复计算x次，而左边共(k-l)个符号，右边共(r-k-1)个符号，所以合并后的答案dp[l][r]=dp[l][k]*(r-k-1)!+dp[k+1][r]*(k-l)!
(2)‘-‘ 与‘+‘类似
(3)‘*‘ 由分配律，合并后的答案dp[l][r]=dp[l][k]*dp[k+1][r]
数学期望：
如果将这个过程随机化，即每次等概率地选取相邻两项合并，
记dp[i][j]为随机合并第i个到第j个数字这一段的表达式之后结果的期望，
根据期望的线性可加性，状态转移方程为
dp[i][j]=(sigma_(k=i~j-1)(dp[i][k]?dp[k+1][j]))/(j-i)，
其中"?"表示第k个数与第k+1个数之间的运算符，
那么dp[1][n]即为随机合并整个表达式之后结果的期望，
乘上方案数(n-1)!即为所求的总和，
由于是取模意义下的运算，转移方程中的除法要用逆元代替，
复杂度O(n^3)。
【Accepted】
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<string> 5 #include<algorithm> 6 #include<cmath> 7 8 using namespace std; 9 typedef long long ll; 10 const int maxn=1e2+5; 11 const ll mod=1e9+7; 12 ll a[maxn]; 13 char op[maxn]; 14 ll dp[maxn][maxn]; 15 ll fpow(ll x,ll n) 16 { 17 ll res=1LL; 18 while(n) 19 { 20 if(n&1) 21 { 22 res=(res*x)%mod; 23 } 24 x=(x*x)%mod; 25 n>>=1; 26 } 27 return res; 28 } 29 ll fact[maxn]; 30 ll nfact[maxn]; 31 int n; 32 void init() 33 { 34 fact[0]=1LL; 35 for(int i=1;i<maxn;i++) 36 { 37 fact[i]=(fact[i-1]*(ll)i)%mod; 38 } 39 nfact[0]=1LL; 40 for(int i=1;i<maxn;i++) 41 { 42 nfact[i]=fpow(fact[i],mod-2); 43 } 44 } 45 int main() 46 { 47 init(); 48 while(~scanf("%d",&n)) 49 { 50 memset(dp,0,sizeof(dp)); 51 for(int i=0;i<n;i++) 52 { 53 cin>>a[i]; 54 } 55 scanf("%s",op); 56 for(int i=0;i<n;i++) 57 { 58 dp[i][i]=a[i]; 59 } 60 for(int l=1;l<n;l++) 61 for(int i=0;i+l<n;i++) 62 { 63 int j=i+l; 64 for(int k=i;k<j;k++) 65 { 66 ll add; 67 if(op[k]=='+') 68 { 69 add=(dp[i][k]*fact[j-1-k]%mod+dp[k+1][j]*fact[k-i]%mod)%mod; 70 } 71 else if(op[k]=='-') 72 { 73 add=(dp[i][k]*fact[j-1-k]%mod-dp[k+1][j]*fact[k-i]%mod+mod)%mod; 74 } 75 else 76 { 77 add=(dp[i][k]*dp[k+1][j]%mod)%mod; 78 } 79 add=(add*fact[l-1]%mod*nfact[j-1-k]%mod*nfact[k-i]%mod)%mod; 80 dp[i][j]=(dp[i][j]+add)%mod; 81 } 82 } 83 cout<<dp[0][n-1]<<endl; 84 85 } 86 return 0; 87 }
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<string> 5 #include<algorithm> 6 #include<cmath> 7 8 using namespace std; 9 typedef long long ll; 10 const ll md=1e9+7; 11 ll fpow(ll x,ll n) 12 { 13 ll res=1LL; 14 while(n) 15 { 16 if(n&1) 17 { 18 res=(res*x)%md; 19 } 20 x=(x*x)%md; 21 n>>=1; 22 } 23 return res; 24 } 25 const int maxn=1e2+3; 26 ll a[maxn]; 27 char op[maxn]; 28 ll dp[maxn][maxn]; 29 ll fact[maxn]; 30 void init() 31 { 32 fact[0]=1LL; 33 for(int i=1;i<maxn;i++) 34 { 35 fact[i]=(fact[i-1]*(ll)i)%md; 36 } 37 } 38 int n; 39 int main() 40 { 41 init(); 42 while(~scanf("%d",&n)) 43 { 44 memset(dp,0,sizeof(dp)); 45 for(int i=0;i<n;i++) 46 { 47 cin>>a[i]; 48 } 49 scanf("%s",op); 50 for(int i=0;i<n;i++) 51 { 52 dp[i][i]=a[i]; 53 } 54 for(int l=1;l<n;l++) 55 { 56 for(int i=0;i+l<n;i++) 57 { 58 int j=i+l; 59 for(int k=i;k<j;k++) 60 { 61 ll add; 62 if(op[k]=='+') 63 { 64 add=(dp[i][k]+dp[k+1][j])%md; 65 } 66 else if(op[k]=='-') 67 { 68 add=(dp[i][k]-dp[k+1][j]+md)%md; 69 } 70 else 71 { 72 add=(dp[i][k]*dp[k+1][j])%md; 73 } 74 dp[i][j]=(dp[i][j]+add)%md; 75 } 76 dp[i][j]=(dp[i][j]*fpow(l,md-2))%md; 77 } 78 } 79 ll ans=(dp[0][n-1]*fact[n-1])%md; 80 cout<<ans<<endl; 81 } 82 return 0; 83 }
【知识点】
1. 取模意义下的除法不能直接除，要用逆元代替。根据费马小定理，a^(p-1)=1(mod p),所以a^(p-2)=(1/a)(mod p),所以a的逆元就是a^p-2。通常p是一个很大的素数，如经常见到的1e9+7，所以要用快速幂。
快速幂模板
fastpow
1 ll fpow(ll x,ll n) 2 { 3 ll res=1LL; 4 while(n) 5 { 6 if(n&1) 7 { 8 res=(res*x)%mod; 9 } 10 x=(x*x)%mod; 11 n>>=1; 12 } 13 return res; 14 }
2. 组合数C(i,j)有两种算法：
第一种：
fac(i+j)*nfac(i)*nfac(j) //其中nfac(i)=fastpow(fac(i),mod-2)
第二种：
C[0][0]=1; for (int i=0;i<201;i++) { C[i][0]=1; for (int j=1;j<=i;j++) { C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%md; } }
3. 在取模运算下，要注意减法，a-b通常要写成（a-b+md）%md
总之注意不要算出负数