1.<a>为a反复相乘生成
的子群，
(a)为a在
中的阶，phi为
规模
2.欧拉定理：对n>1,
=1(modn),对所有a属于
成立
3.费马定理：p素数，,
=1(modp) 对所有a属于
成立
4.原根：
(g)=|
|,对模n，
每个元素都是g的幂，g是
的原根或生成元
若
包含一个原根，则
循环群
5.对所有素数p>2和正整数e，满足
循环群n的值为2,4，
6.离散对数：g是
中的原根，a是
中任一元素，存在z使,
=a(modn),z称为离散对数,即
7.离散对数定理：g是
原根，则
=
(modn)成立，当且仅当x=y(modφ(n))成立
8.p 是奇素数且e>=1,则方程
仅有两个解，x=1和x=-1
证明：
因为
，所以必有原根，设n=
,
=
(modn),
)=
=0(modφ(n))
φ(n)=(p-1)
,gcd(2,
)=2,d=2,且0|2，有两个解，1，-1.
9.平凡平方根：1，-1
10.模n存在1的非平凡平方根，n是合数
11.反复平方法求数的幂(c无用)，所需位操作次数O(
) β为位数
注：下面代码多乘一个a的原因：
举例：a^10=a^5*a^5
a^5=a^2*a^2*a
MODULAR-EXPONENTIATION(a,b,n)
{
c =0;
d =1;
let<bk,bk-1,…,b0>be the binary represention of b;
for(i from k down to 0 )
c=2c;
d=(d*d)modn;
if(bi==1)
c=c+1;
d=(d*a)modn;
return d;
}
c语言的两种写法
1.递归
__int64 exp_mod(__int64 a, __int64 n, __int64 b)
{
__int64 t;
if(n==0) return 1%b;
if(n==1) return a%b;
t=exp_mod(a,n/2,b);
t=t*t%b;
if((n&1)==1) t=t*a%b;
return t;
}
2.递推
__int64 modexp(__int64 a,__int64 b,__int64 n)
{
__int64 ret=1;
__int64 tmp=a;
while(b)
{
//基数存在
if(b&0x1) ret=ret*tmp%n;
tmp=tmp*tmp%n;
b>>=1;
}
return ret;
}