题解 P3369 【【模板】普通平衡树】

在网上某篇神奇的教程和@codesonic 大佬的标程帮助下，我又肝完了Leafy Tree，跑过来写篇题解（好像以前写过一篇？）

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什么是Leafy Tree?

Leafy Tree由两种节点组成：辅助节点与叶子节点。

叶子节点储存值，而辅助节点储存左右孩子中大的那个值。

注意：辅助节点必定有两个孩子。

操作如何实现？

拿插入操作举例：

一路向下递归，每次拿左子树最大值与插入值作比较，如果大就往左，如果小就往右。

到底了就插入叶子与辅助。

然后再回溯更新。

这时候就会出一个问题：这个算法很容易被数据卡。

解决方案是引入平衡因子，在适当的时候重建这颗树。

重构方法可以拍扁也可以旋转。

拍扁的方法就是中序遍历一遍然后重新建树(具体可以参考这里)，旋转的一会儿会讲。

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工具函数

这里是一些简单的重要的工具函数。

1. 新建节点

inline void newNode(int &pos,int v){
	pos=++cnt,size[pos]=1,val[pos]=v;
}

cnt是总结点个数，size是子树大小，val是值（废话）。

2. 复制节点

inline void copyNode(int x,int y){
	size[x]=size[y],ls[x]=ls[y],rs[x]=rs[y],val[x]=val[y];
}

没什么好说的

3. 合并节点

void merge(int l,int r){
	size[++cnt]=size[l]+size[r],val[cnt]=val[r],ls[cnt]=l,rs[cnt]=r;
}

4. 旋转

void rotate(int pos,bool flag){
	if(flag){
		merge(ls[pos],ls[rs[pos]]);
		ls[pos]=cnt,rs[pos]=rs[rs[pos]];
	}else{
		merge(rs[ls[pos]],rs[pos]);
		rs[pos]=cnt,ls[pos]=ls[ls[pos]];
	}
}

这是重建依赖的旋转函数，左旋右旋看flag。

具体流程没什么好讲的，可以参考splay的左旋与右旋。

5. 重建

void maintain(int pos){
	if(size[ls[pos]]>size[rs[pos]]*alpha)rotate(pos,0);
	else if(size[rs[pos]]>size[ls[pos]]*alpha)rotate(pos,1);
	if(size[ls[pos]]>size[rs[pos]]*alpha)rotate(ls[pos],1),rotate(pos,0);
	else if(size[rs[pos]]>size[ls[pos]]*alpha)rotate(rs[pos],0),rotate(pos,1);
}

这是重建函数，平衡因子就这题而言取4应该是最快的。

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插入操作

void insert(int pos,int v){
	if(size[pos]==1){
		newNode(ls[pos],min(v,val[pos]));
		newNode(rs[pos],max(v,val[pos]));
		pushup(pos);
		return;
	}
	if(v>val[ls[pos]])insert(rs[pos],v);
	else insert(ls[pos],v);
	pushup(pos);
    maintain(pos);
}

思路就是之前讲的一路向下递归。

当子树大小为1的时候（到头了）就在底下新建两个节点，一个叶子一个辅助，然后回溯更新。

如果没到头的话就继续递归，然后递归完了就维护一下左右子树的平衡，看看需不需要重建。

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删除操作

void erase(int pos,int v){
	if(size[pos]==1){
		if(ls[father]==pos)copyNode(father,rs[father]);
		else copyNode(father,ls[father]);
		return;
	}
	father=pos;
	if(v>val[ls[pos]])erase(rs[pos],v);
	else erase(ls[pos],v);
	pushup(pos);
	maintain(pos);
}

删除操作的思路和插入操作一样，一路向下。

需要说明的是father是我们记录的父亲（也可以不这样而是通过传参解决）。

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排名查询&排名对应数查询

int kth(int pos,int v){
	if(size[pos]==v)return val[pos];
	if(v>size[ls[pos]])return kth(rs[pos],v-size[ls[pos]]);
	return kth(ls[pos],v);
}
int rank(int pos,int v){
	if(size[pos]==1)return 1;
	if(v>val[ls[pos]])return rank(rs[pos],v)+size[ls[pos]];
	return rank(ls[pos],v);
}

这两个。。。写什么平衡树都会用到肯定大家都会。

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然后好像就结束了（Leafy Tree本来码量就不高）

不开O2不加读优大概是311ms左右（竟然还没有我替罪羊树快），应该是写丑了吧。。。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100100;
const int alpha=4;
int n,cnt,father,root;
int val[N<<2],size[N<<2],ls[N<<2],rs[N<<2];
inline void newNode(int &pos,int v){
	pos=++cnt,size[pos]=1,val[pos]=v;
}
inline void copyNode(int x,int y){
	size[x]=size[y],ls[x]=ls[y],rs[x]=rs[y],val[x]=val[y];
}
void merge(int l,int r){
	size[++cnt]=size[l]+size[r],val[cnt]=val[r],ls[cnt]=l,rs[cnt]=r;
}
void rotate(int pos,bool flag){
	if(flag){
		merge(ls[pos],ls[rs[pos]]);
		ls[pos]=cnt,rs[pos]=rs[rs[pos]];
	}else{
		merge(rs[ls[pos]],rs[pos]);
		rs[pos]=cnt,ls[pos]=ls[ls[pos]];
	}
}
void maintain(int pos){
	if(size[ls[pos]]>size[rs[pos]]*alpha)rotate(pos,0);
	else if(size[rs[pos]]>size[ls[pos]]*alpha)rotate(pos,1);
	if(size[ls[pos]]>size[rs[pos]]*alpha)rotate(ls[pos],1),rotate(pos,0);
	else if(size[rs[pos]]>size[ls[pos]]*alpha)rotate(rs[pos],0),rotate(pos,1);
}
void pushup(int pos){
	if(!size[ls[pos]])return;
	size[pos]=size[ls[pos]]+size[rs[pos]];
	val[pos]=val[rs[pos]];
}
void insert(int pos,int v){
	if(size[pos]==1){
		newNode(ls[pos],min(v,val[pos]));
		newNode(rs[pos],max(v,val[pos]));
		pushup(pos);
		return;
	}
	if(v>val[ls[pos]])insert(rs[pos],v);
	else insert(ls[pos],v);
	pushup(pos);
	maintain(pos);
}
void erase(int pos,int v){
	if(size[pos]==1){
		if(ls[father]==pos)copyNode(father,rs[father]);
		else copyNode(father,ls[father]);
		return;
	}
	father=pos;
	if(v>val[ls[pos]])erase(rs[pos],v);
	else erase(ls[pos],v);
	pushup(pos);
	maintain(pos);
}
int kth(int pos,int v){
	if(size[pos]==v)return val[pos];
	if(v>size[ls[pos]])return kth(rs[pos],v-size[ls[pos]]);
	return kth(ls[pos],v);
}
int rank(int pos,int v){
	if(size[pos]==1)return 1;
	if(v>val[ls[pos]])return rank(rs[pos],v)+size[ls[pos]];
	return rank(ls[pos],v);
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    newNode(root,2147483647);
    while(n--){
        int s,a;
        scanf("%d%d",&s,&a);
        if(s==1)insert(root,a);
        if(s==2)erase(root,a);
        if(s==3)printf("%d
",rank(root,a));
        if(s==4)printf("%d
",kth(root,a));
        if(s==5)printf("%d
",kth(root,rank(root,a)-1));
        if(s==6)printf("%d
",kth(root,rank(root,a+1)));
    }
}