深入理解二分查找

问题定义

在区间[lo, hi)查找元素e

search语义约定：
如果成功，返回e的位置；如果失败，返回不大于e的最大元素的位置

只有版本C符合语义约定

版本A到版本B的改进是为了平衡向左和向右走时的查找次数，使得在最坏情况下查找次数得到改善，而最好情况下版本A还是最好的（不过最好情况一般不会遇到）

版本B到版本C的改进是为了满足语义约定，因此最终版本C实现了最坏情况下更少的查找次数以及search()的语义约定

版本A

循环条件：查找区间的元素至少有1个

判断条件：

e < val[mid]时向左, hi取mid；

val[mid] < e时向右,lo取mid+1；

除此以外返回当前位置

即[lo, mi) or [mid+1, hi) or mid hit

最终返回：表示查找失败，返回-1

实现

while (lo < hi) {
    mi = (lo+hi) >> 1;
    if (e < val[mid]) {
        hi = mi;
    } else if (val[mid] < e) {
        lo = mid + 1;
    } else {
        return mid;
    }
}
return -1;

版本B

循环条件：查找区间内元素至少有2个

判断条件：

e < val[mid]时向左,hi取mid;

val[mid] <= e时向右, lo取mid.

即[lo, mi) or [mi, hi)

最终返回：如果e == val[lo]，返回lo；否则返回-1

版本C

循环条件：查找区间内元素至少有1个

判断条件:

e < val[mid]时向左,hi取mid; 使得 e < [hi, n)

val[mid]<=e时向右，lo取mid+1; 使得 [0, lo) <= e

最终返回：--lo;

当区间元素个数缩减至0时，lo-1是不大于e( <= e )的最大元素

实现

while (lo < hi) {
    mid = (hi+lo)>>1;
    if ( val[mid] <= e) {
        lo = mid + 1;
    } else if (e < val[mid]) {
        hi = mid;
    }   
}
return --lo;

二分查找与STL lower_bound/upper_bound

值得注意的是，语义定于等价于upper_bound

参照版本C的思路，应该这样实现lower_bound的思路:

1. 为了实现lower_bound, 需要同版本C，将整个区间划分为两部分，[0, lo) 内均 < e;而[hi, n)内均 e <= .
2. 这样的话我们就可以返回hi的值作为lower_bound语义,或者为了计数方便(统计有多少个目标值e)，也可以返回lo-1。
3. 如果返回hi，语义是：不大于e的最小元素位置；如果返回lo-1，语义是：严格小于e的最大元素位置

int lower_bound(const vector<int> &nums, const int target) {
    int lo = 0;
    int hi = nums.size();
    int mid = 0;
    while (lo < hi) {
        mid = (lo+hi) >> 1;
        if (e <= nums[mid]) { // 这个if的判断以及hi的移动使得[hi, n)均 e <=
            hi = mid; 
        } else ( nums[mid] < e){ // 这个else的判断及lo的移动使得[0,lo)均 < e
            lo = mid + 1;
        }
    }
    return hi;
}

其他优化

为了处理索引值使用int存储时可能出现的溢出情况，可以在计算mid时，使用
lo + ( (hi-lo)>>1 ) 代替 (lo + hi) >> 1

处理数组索引的时候考虑一下数组长度就可以了

reference

清华 数据结构 邓俊晖 关于二分查找的讲解