斐波拉契数列

简介

历史上有一个有名的关于兔子的问题：假设有一对兔子，长两个月它们就算长大成年了。然后以后每个月都会生出1对兔子，生下来的兔子也都是长两个月就算成年，然后每个月也都会生出1对兔子了。这里假设兔子不会死，每次都是只生1对兔子。

第一个月，只有1对小兔子；

第二个月，小兔子还没长成年，还是只有1对兔子；

第三个月，兔子长成年了，同时生了1对小兔子，因此有两对兔子；

第四个月，成年兔子又生了1对兔子，加上自己及上月生的小兔子，共有3对兔子；

第五个月，成年兔子又生了1对兔子，第三月生的小兔子现在已经长成年了且生了1对小子，加上本身两只成年兔子及上月生的小兔子，共5对兔子；

这样过了一年之后，会有多少对兔子了呢？
我们可以把这些兔子的数量以对为单位列出数字就能得到一组数字：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233。所以，过了一年之后，总共会有233对兔子了。那么续往下呢？

其实这组数字可以形成一个有规律的数列，我们把这个数列叫做“斐波那契数列”。在这个数列中的数字，就被称为“斐波那契数”。这个数列是在1228年意大利数学家斐波那契首先提出的。这个数列的规律是这样的：它的第一项、第二项是1,而从第三项起每一项都等于它的前两项之和。所以，如果不考虑兔子的死亡问题，我们还可以继续往下算出n年后兔子繁殖的数量。

代码实现

public class Fib {

    // O(2^n)
    public static int fib1(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        return fib1(n - 1) + fib1(n - 2);
    }

    // O(n)
    public static int fib2(int n) {
        if (n <= 1) return n;

        int first = 0;
        int second = 1;
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            int sum = first + second;
            first = second;
            second = sum;
        }
        return second;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int result = fib2(64);
        System.out.println(result);
    }
}

如何评判一个算法的好坏？

一般从以下维度来评估算法的优劣

1. 正确性、可读性、健壮性（对不合理输入的反应能力和处理能力）
2. 时间复杂度（time complexity）：估算程序指令的执行次数（执行时间）
3. 空间复杂度（space complexity）：估算所需占用的存储空间

大O表示法（Big O）

1. 一般用大O表示法来描述复杂度，它表示的是数据规模 n 对应的复杂度
2. 忽略常数、系数、低阶

9 >> O(1)
2n + 3 >> O(n)
n^2 + 2n + 6 >> O(n^2 )
4n^3 + 3n^2 + 22n + 100 >> O(n^3 )

注意：大O表示法仅仅是一种粗略的分析模型，是一种估算，能帮助我们短时间内了解一个算法的执行效率

log 2^n = log 2^9 ∗ log 9^n

所以 log 2^n 、log 9^n 统称为 logn

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n 2 ) < O(n^3 ) < O(2*n ) < O(n!) < O(n^n )

数据规模较小时

数据规模较大时

fib函数的时间复杂度分析

算法的优化方向

1. 用尽量少的存储空间
2. 用尽量少的执行步骤（执行时间）