算法浅谈——字符串相关

个人水平所限，只能谈及几年前的OI省选水平的算法。再高深的，便不清楚了。

---

主要参考文献：

1. hzwer，《OI省选算法汇总》。
2. _Rayx，《多种字符串匹配算法杂谈》。
3. airfer，《字符串匹配算法比较》。
4. 罗穗骞，《后缀数组——处理字符串的有力工具》。
5. xiazdong，《Dijkstra、Bellman_Ford、SPFA、Floyd算法复杂度比较》。
6. Create Chen，《理解A*寻路算法具体过程》。
7. lufy，《A*寻路算法与它的速度》。
8. Amit，蔡鸿译，《Amit's A star Page中译文》。

---

OI算法，大抵可分为以下几类：

1. 数据结构
2. 字符串相关
3. 图论相关
4. 数学相关
5. 动态规划
6. 计算几何
7. 不保证正确性的算法
8. 其他重要工具与方法

下面依次谈一谈。

这个算法是怎么来的，是为了解决什么问题而来，以前的算法为什么没有解决，而现在的算法却能解决；现在这个算法还有些什么缺点；能做一些什么问题，不能做些什么问题。—— Ronghua Li

字符串相关

单模式串匹配

• KMP：在主串S（长度N）中匹配一个模式串P（长度M），预处理时间 O(M) ，匹配时间 O(N+M) 。

• KMP及相关算法时间复杂度比较：

  其中，M为模式串长度，N为主串长度。
  实测时，string长度10000，每个函数都被调用了1000次。

算法	预处理时间	匹配时间	实测时间
BF	O(0)	O(NM)	0.078
KMP	O(M)	O(N)	0.094
BM	O(N+M2)	O(N)	0.047
Sunday	O(M)	O(NM)	0.172
Robin-Karp	O(0)	O(NM)	0.328
Bitap	O(M)	O(NM)→O(N)	0.281

字典树（Trie）

Trie是一种n叉树，n为字母表大小，每个节点表示从根节点到此节点所经过的所有字符组成的字符串。

多模式串匹配

• AC自动机：在主串S（长度N）中匹配多个模式串P（长度M），预处理时间 O(N+∑Mi) ，匹配时间 O(N+∑Mi) 。

AC自动机就是KMP思想。但用KMP做多模式串匹配的时间复杂度是 O(∑N+Mi) 。显然，提高的复杂度是 O(N(K−1)) ，其中K表示模式串的个数。而当模式串数量大、模式串较短、主串较长时，算法几乎是从 O(N2) 降到了 O(N) 。

还有一种多模式的匹配算法叫做AC自动机。它能一次匹配多个模式串。它与KMP的思路很像，不匹配时找一个最长的再继续进行！它需要先把字符串建成一颗Trie树，树结点有一个叫做failed的指针，是表示如果不匹配时应该再从哪个结点进行匹配。因为这种做法是一种DFA上的匹配，而发明这种算法的人叫A.C.，所以就叫AC自动机了。复杂度很好，比每个模式串用一次KMP算法要好很多。

后缀树、后缀数组

• 这俩是非常有用的字符串处理工具，尤其是后缀数组，很多复杂字符串问题都可以用它来快速完美解决。
• 构造：倍增算法 O(logN) ，DC3算法 O(N) ，但前者常数小一些，且实现较容易。
• 内容： 
  • 后缀数组，SA[1~N]，表示“排第几的是谁？”。也就是将S的N个后缀升序排序，把排好序的后缀的开头位置顺次放入SA中。显然，其满足：
    Suffix(SA[i])<Suffix(SA[i+1])
    
  • 名次数组，Rank[1~N]，表示“你排第几？”。也就是 Suffix(i) 在所有后缀中升序排序的名次。
• 用途：
  • 最长公共前缀
  • 单个字符串的相关问题
    • 重复子串
      • 可重叠最长重复子串
      • 不可重叠最长重复子串 (pku1743)
      • 可重叠的最长重复子串 (pku3261)
    • 子串的个数
      • 不相同的子串的个数 (spoj694, spoj705)
    • 回文子串
      • 最长回文子串 (ural1297)
    • 连续重复子串
      • 连续重复子串 (pku2406)
      • 重复次数最多的连续重复子串 (spoj687, pku3693)
  • 两个字符串的相关问题
    • 公共子串
      • 最长公共子串 (pku2774, ural1517)
    • 子串的个数
      • 长度不小于k的公共子串的个数 (pku3415)
  • 多个字符串的相关问题
    • 不小于k个字符串中的最长子串 (pku3294)
    • 每个字符串至少出现两次且不重叠的最长子串 (spoj220)
    • 出现或反转后出现在每个字符串中的最长子串(pku3294)

还有一种叫做后缀数组和后缀树的，后缀树是可以转发为后缀数组的，这两种构造起来很不简单，但是复杂度却是惊人的好。如求最长重复连续子串，出现次数最多的子串等都能用它完美的解决。有兴趣的可以搜搜，后缀数组的资料应该是比较多的，而后缀树由于太复杂，资料不是很多，还是有的。

关于后缀数组构造的倍增算法，有一个特别好玩的小故事，大家可以去看看～

《后缀树,后缀数组,离散化》，去看73到81页，可爱的小白兔们^_^

模糊匹配

上面介绍的都是精确匹配的算法，其实对于字符串，还有一种模糊匹配，有兴趣的读者可以阅读一本叫做《柔性字符串匹配》的书，肯定会让你获益匪浅。

其他

• 后缀自动机
• Manacher