偏导数 方向导数

偏导数

在数学中，一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

假设ƒ是一个多元函数。例如：

。

f = x² + xy + y²的图像。我们希望求出函数在点（1, 1, 3）的对x的偏导数；对应的切线与xOz平面平行。

因为曲面上的每一点都有无穷多条切线，描述这种函数的导数相当困难。偏导数就是选择其中一条切线，并求出它的斜率。通常，最感兴趣的是垂直于y轴（平行于xOz平面）的切线，以及垂直于x轴（平行于yOz平面）的切线。

这是上图中y = 1时的图像片段。

一种求出这些切线的好办法是把其他变量视为常数。例如，欲求出以上的函数在点（1, 1, 3）的与xOz平面平行的切线，我们把变量y视为常数。右图中显示了函数的图像以及这个平面。上图中显示了函数在平面y = 1上是什么样的。通过求出这个图中的切线，我们发现ƒ在点（1, 1, 3）的与xOz平面平行的切线的斜率是3。我们把它记为：

在点（1, 1, 3），或称“f在（1, 1, 3）的关于x的偏导数是3”。

多变量函数的一个重要的例子，是欧几里德空间Rⁿ（例如R²或R³）上的标量值函数f(x₁,...x_n)。在这种情况下，f关于每一个变量x_j具有偏导数∂f/∂x_j。在点a，这些偏导数定义了一个向量：

。

这个向量称为f在点a的梯度。如果f在定义域中的每一个点都是可微的，那么梯度便是一个向量值函数∇f，它把点a映射到向量∇f（a）。这样，梯度便决定了一个向量场。

例子圆锥的体积与它的高度和半径有关

考虑一个圆锥的体积V；它与高度h和半径r有以下的关系：

。

V关于r的偏导数为：

。

它描述了高度固定而半径变化时，圆锥的体积的变化率。V关于h的偏导数为：

它描述了半径固定而高度变化时，圆锥的体积的变化率。

现在考虑V关于r和h的全导数。它们分别是：

以及

现在假设，由于某些原因，高度和半径的比k需要是固定的：

这便给出了全导数：

含有未知函数的偏导数的方程，称为偏微分方程，它在物理学、工程学，以及其它应用科学中经常会见到。

方向导数

方向导数（Directional derivative）是一个多变量可微函数上的任意一点沿着某一矢量方向的瞬时变化率。

 

方向导数：讨论函数z=f（x，y）在P沿某一方向的变化率问题 

梯度：方向导数最大的方向。   （例如 电压递增方向）

恒定值方向：方向导数为0的方向，与梯度成90度夹角,cos（90度）=0。（例如 恒转矩方向）