牛客多校第四场 H.Convolution 数论 推式子
题意
定义运算
[a igotimes b = sum_{i}p_i^{|e_{a_i} - e_{b_i}|}
]
(e_{x_i})表示(x)的第(i)个质因子的指数
给定(a_1...a_n)
求
[b_i = sum_{i leq k,j leq n,j igotimes k =i} a_jk^c
]
分析
现进行一些转化
有常用的等式
[|a-b|= max(a,b) - min(a,b)
]
那么
[aigotimes b = sum_{i}p_i^{max(e_{a_i},e_{b_{i}}) - min(e_{a_i},e_{b_i})}
]
显然这就是(frac{[a,b]}{(a,b)} = frac{ab}{(a,b)^2})
那么
[b_i = sum_{j=1}^nsum_{k=1}^n[frac{jk}{(j,k)^2} = i]a_j k^c\
]
考虑对称性构造(x' = frac{j}{(j,k)},y' = frac{k}{(j,k)})
那么常用套路，枚举(gcd = d),(j = dx',k = dy')
[b_i = sum_{x' | i} sum_{d=1}^{min(lfloorfrac{i}{x'}
floor,lfloorfrac{i}{y'}
floor)}a_{dx'}(dy')^c
]
发现每次计算(b_i)中后式会多次重复计算
考虑计算
[f_{x',m} = sum_{d=1}^m a_{dx'}d^c
]
显然这可以(O(1))递推，这样式子就只依赖(a) 计算贡献时可以额外乘上(y)的贡献
[b_i = sum_{x|i} f_{x',u} y'^c
]
代码
const int MOD = 998244353;
inline int mul(int a,int b){
int res = (ll)a * b % MOD;
if(res < 0) res += MOD;
return res;
}
inline void add(int &a,int b){
a += b;
if(a >= MOD) a -= MOD;
}
inline void sub(int &a,int b){
a -= b;
if(a < 0) a += MOD;
}
const int maxn = 1e6 + 5;
int ksm(int a,int b = MOD - 2,int m = MOD){
int ans = 1;
int base = a;
while(b){
if(b & 1) ans = (ll)ans * base % m;
base = (ll)base * ans % m;
b >>= 1;
}
return ans;
}
int p[maxn];
int main(){
int n = rd();
int c = rd();
for(int i = 1;i <= n;i++)
p[i] = ksm(i,c);
vector<int> v(n + 1);
vector<int> ans(n + 1);
for(int i = 1;i <= n;i++){
v[i] = rd();
}
int res = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++){
vector<int> f(n / i + 1);
for(int j = 1;j * i <= n;j++)
f[j] = f[j - 1],add(f[j],mul(v[i * j],p[j]));
for(int j =1;i * j <= n;j++)
if(__gcd(i,j) == 1){
int u = n / max(i,j);
add(ans[i * j],mul(f[u],p[j]));
}
}
for(int i = 1;i <= n;i++)
res ^= ans[i];
printf("%d",res);
}