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二叉树合集（一）：二叉树基础（含四种遍历，图文详解）
二叉树合集（二）：霍夫曼树(图文详解)
二叉树合集（三）：线索二叉树（图文详解）
二叉树合集（四）：对称二叉树（递归和迭代实现）
二叉树合集（五）：二叉搜索树（图片详解，含基本操作）
二叉树合集（六）：高度平衡二叉树
高度平衡的二叉搜索树简介
在这篇文章中，我们将帮助你理解高度平衡的二叉搜索树的基本概念。
什么是一个高度平衡的二叉搜索树?
树结构中的常见用语:
- 节点的深度 - 从树的根节点到该节点的边数
- 节点的高度 - 该节点和叶子之间最长路径上的边数
- 树的高度 - 其根节点的高度
一个高度平衡的二叉搜索树（平衡二叉搜索树）是在插入和删除任何节点之后，可以自动保持其高度最小。也就是说，有*N个节点的平衡二叉搜索树，它的高度是logN*。并且，每个节点的两个子树的高度不会相差超过1。
为什么是
logN呢?
- 一个高度为
h的二叉树.
- 换言之，一个有
N个节点，且高度为h的二叉树:.
- 所以：
.
下面是一个普通二叉搜索树和一个高度平衡的二叉搜索树的例子:
根据定义, 我们可以判断出一个二叉搜索树是否是高度平衡的平衡二叉树。
正如我们之前提到的, 一个有N个节点的平衡二搜索叉树的高度总是*logN*。因此，我们可以计算节点总数和树的高度，以确定这个二叉搜索树是否为高度平衡的。
同样，在定义中， 我们提到了高度平衡的二叉树一个特性: 每个节点的两个子树的深度不会相差超过1。我们也可以根据这个性质，递归地验证树。
为什么需要用到高度平衡的二叉搜索树?
我们已经介绍过了二叉树及其相关操作, 包括搜索、插入、删除。 当分析这些操作的时间复杂度时，我们需要注意的是树的高度是十分重要的考量因素。以搜索操作为例，如果二叉搜索树的高度为*h*，则时间复杂度为*O(h)*。二叉搜索树的高度的确很重要。
所以，我们来讨论一下树的节点总数*N*和高度*h*之间的关系。 对于一个平衡二叉搜索树, 我们已经在前文中提过, 
。但对于一个普通的二叉搜索树， 在最坏的情况下, 它可以退化成一个链。
因此，具有*N个节点的二叉搜索树的高度在logN到N*区间变化。也就是说，搜索操作的时间复杂度可以从logN变化到N。这是一个巨大的性能差异。
所以说，高度平衡的二叉搜索树对提高性能起着重要作用。
如何实现一个高度平衡的二叉搜索树?
有许多不同的方法可以实现。尽管这些实现方法的细节有所不同，但他们有相同的目标:
- 采用的数据结构应该满足二分查找属性和高度平衡属性。
- 采用的数据结构应该支持二叉搜索树的基本操作，包括在
O(logN)时间内的搜索、插入和删除，即使在最坏的情况下也是如此。
我提供了一个常见的的高度平衡二叉树列表供您参考：
我不打算在本文中展开讨论这些数据结构实现的细节。
高度平衡的二叉搜索树的实际应用
高度平衡的二叉搜索树在实际中被广泛使用，因为它可以在*O(logN)*时间复杂度内执行所有搜索、插入和删除操作。
平衡二叉搜索树的概念经常运用在Set和Map中。 Set和Map的原理相似。 我们将在下文中重点讨论Set这个数据结构。
Set(集合)是另一种数据结构，它可以存储大量key(键)而不需要任何特定的顺序或任何重复的元素。 它应该支持的基本操作是将新元素插入到Set中，并检查元素是否存在于其中。
通常，有两种最广泛使用的集合：散列集合(Hash Set)和树集合(Tree Set)。
树集合, Java中的Treeset或者C++中的set，是由高度平衡的二叉搜索树实现的。因此，搜索、插入和删除的时间复杂度都是O(logN)。
散列集合, Java中的HashSet或者C++中的unordered_set，是由哈希实现的, 但是平衡二叉搜索树也起到了至关重要的作用。当存在具有相同哈希键的元素过多时，将花费O(N)时间复杂度来查找特定元素，其中N是具有相同哈希键的元素的数量。 通常情况下，使用高度平衡的二叉搜索树将把时间复杂度从 O(N)改善到 O(logN)。
哈希集和树集之间的本质区别在于树集中的键是有序的。
总结
高度平衡的二叉搜索树是二叉搜索树的特殊表示形式，旨在提高二叉搜索树的性能。但这个数据结构具体的实现方式，超出了我们这章的内容，也很少会在面试中被考察。但是了解高度平衡二叉搜索树的的基本概念，以及如何运用它帮助你进行算法设计是非常有用的。