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专栏——深度学习入门笔记
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深度学习入门笔记(四):向量化
1、向量化
向量化 是非常基础的去除代码中 for 循环的艺术。为什么要去除 for 循环?
当在深度学习安全领域、深度学习实践中应用深度学习算法时,会发现在代码中显式地使用 for 循环使算法很低效,同时在深度学习领域会有越来越大的数据集,因为深度学习算法处理大数据集效果很棒,所以代码运行速度非常重要,否则如果在大数据集上,代码可能花费很长时间去运行,你将要等待非常长的时间去得到结果。所以算法能应用且没有显式的 for 循环是很重要的,并且会帮助你适用于更大的数据集。所以在深度学习领域这里有一项叫做向量化的技术,是一个关键的技巧,它可以允许你的代码摆脱这些显式的 for 循环,举个栗子说明什么是向量化。
在逻辑回归中,需要去计算 ,其中 、 都是列向量。如果有很多的特征,那么就会有一个非常大的向量,所以 , ,那么如果想使用非向量化方法去计算 ,就需要用如下方式(基于 python 编程实现):
z = 0
for i in range(n_x):
z += w[i] * x[i]
z += b
这是一个非向量化的实现,实践之后,你会发现这个是真的很慢,,,作为对比,向量化的实现将会非常直接计算 ,代码如下:
z = np.dot(w, x) + b
这是向量化方式进行计算 的方法,你会发现这个非常快,尤其是对比之前的非向量化的实现。
让我们用一个小例子说明一下,在我的我将会写一些代码(以下为教授在他的Jupyter notebook上写的Python代码,)
import time # 导入时间库
import numpy as np # 导入numpy库
a = np.array([1, 2, 3, 4]) # 创建一个数据a
print(a)
# [1 2 3 4]
a = np.random.rand(1000000)
b = np.random.rand(1000000) # 通过round随机得到两个一百万维度的数组
tic = time.time() # 现在测量一下当前时间
# 向量化的版本
c = np.dot(a, b)
toc = time.time()
print("Vectorized version:" + str(1000 * (toc - tic)) + "ms") # 打印一下向量化的版本的时间
# 继续增加非向量化的版本
c = 0
tic = time.time()
for i in range(1000000):
c += a[i] * b[i]
toc = time.time()
print(c)
print("For loop:" + str(1000 * (toc - tic)) + "ms") # 打印for循环的版本的时间
运行结果见下图:
在上面的代码中,使用两个方法——向量化和非向量化,计算了相同的值,其中向量化版本花费了0.968毫秒,而非向量化版本的 for 循环花费了327.997毫秒,大概是300多倍,准确倍数是 338.840 倍。仅仅在这个自己举的例子中,都可以明显看到效果。这意味着如果向量化方法需要花费一分钟去运行的数据,使用 for 循环将会花费5个小时去运行。
一句话总结,向量化快!!!
2、深入理解向量化
通过 numpy内置函数 和 避开显式的循环(loop) 的方式进行向量化,从而有效提高代码速度。根据经验,在写神经网络程序时,或者在写 逻辑(logistic)回归 时,或者在写其他神经网络模型时,应该避免写 循环(loop) 语句。虽然有时写 循环(loop) 是不可避免的,但是如果可以使用其他办法去替代计算,程序效率总是更快。
来看另外一个例子。如果想计算向量 ,这时根据矩阵乘法的定义,有 。
- 非向量化方法:用 , 然后通过两层循环 ,可以得到:
- 向量化方法:用
吴恩达老师手写稿如下:
下面通过另一个例子继续了解向量化。如果有一个向量 ,并且想要对向量 的每个元素做指数操作。
- 非向量化方法:初始化向量 ,然后通过循环依次计算每个元素
- 向量化方法:通过 python 的 numpy 内置函数,执行 命令
numpy 库有很多向量函数,比如 u=np.log
是按元素计算对数函数()、 np.abs()
是按元素计算数据的绝对值函数、np.maximum(v, 0)
是按元素计算 中每个元素和和0相比的最大值,v**2
是按元素计算元素 中每个值的平方、 1/v
是按元素计算 中每个元素的倒数等等。
PS:当想写循环时,检查 numpy 是否存在类似的内置函数。
吴恩达老师手写稿如下:
希望你现在有一点向量化的感觉了,减少一层循环可以使代码更快一些!!!
3、向量化逻辑回归
如何实现逻辑回归的向量化计算?只要实现了,就能处理整个数据集了,甚至不会用一个明确的 for 循环,听起来是不是特别地 inspiring。
先回顾一下逻辑回归的前向传播,现有 个训练样本,然后对第一个样本进行预测,;激活函数 ;计算第一个样本的预测值 。然后对第二个样本进行预测,第三个样本,依次类推。。。如果有 个训练样本,可能需要这样重复做 次。可不可以不用任何一个明确的 for 循环?
首先,定义一个 行 列的矩阵 作为训练输入(如下图中蓝色 ),numpy 形式为 。
吴恩达老师手稿如下:
前向传播过程中,如何计算 , , ……一直到 ?构建一个 的行向量用来存储 ,这样可以让所有的 值都同一时间内完成。实际上,只用了一行代码。即 。为什么 要转置呢?
希望你尽快熟悉矩阵乘法,因为矩阵乘法的要求中有一条是,两个矩阵相乘,左面矩阵的列数需要等于右面矩阵的行数, 也是 , 也是 ,而 是 ,正好符合 的公式,且保证了矩阵乘法的条件。其中 这是第一个元素, 这是第二个元素, …, 这是第 个元素。分别与 , , …对应。所以, 是一次获得的一次获得全部。
但是细心的你会发现,为了计算 ,使用 numpy 命令 。这里有一个巧妙的地方, 是一个 的矩阵,而 是一个实数,或者可以说是一个 的矩阵,那么如何把一个向量加上一个实数?
这里简单说一下:Python 自动地把实数 扩展成一个 的行向量,只有这样才能进行矩阵相加(矩阵相加需要两个矩阵等大小)。这个操作似乎有点不可思议,它在 Python 中被称作 广播(brosdcasting),目前你不用对此感到顾虑,这在博客——深度学习入门笔记(五):神经网络的编程基础中会详细讲解!
现在说一下字母规范:大写的 是一个包含所有小写 到 的 的矩阵,而大写 则是包含所有小写 到 的 的矩阵。
简单小结一下,不要 for 循环,利用 个训练样本使用向量化的方法,一次性计算出 和 。
4、向量化逻辑回归的梯度输出
注:本节中大写字母代表向量,小写字母代表元素
如何 同时 计算 个数据的梯度,并且实现一个非常高效的 逻辑回归算法(Logistic Regression) ?
之前在讲梯度计算的时候(深度学习入门笔记(二):神经网络基础),列举过几个例子, , , ……等等一系列类似公式。不过当时是单样本数据计算,现在对 个数据做同样的计算,可以照着上一章讲过的,定义一个新的变量 ,每一个样本的 横向排列,就可以得到一个 的 矩阵了。
我们已经知道计算方法了,那么就差一个 ,然后就可以计算 ,刚好分别对应 ,,……
开始向量化逻辑回归的梯度输出:
首先是
向量化代码如下:
接下来是
其中, 是一个行向量。因此展开后是
向量化代码如下:
这样,就避免了在训练集上使用 for 循环。对比之前实现的逻辑回归,可以发现,没有向量化是非常低效的,代码量还多。。。
翻新后的计算如下:
前五个公式完成了前向和后向传播,后两个公式进行梯度下降更新参数。
最后的最后,终于得到了一个高度向量化的、非常高效的逻辑回归的梯度下降算法,是不是?
推荐阅读
- 深度学习入门笔记(一):深度学习引言
- 深度学习入门笔记(二):神经网络基础
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- 深度学习入门笔记(十一):权重初始化
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- 深度学习入门笔记(十八):卷积神经网络(一)
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- 深度学习入门笔记(二十):经典神经网络(LeNet-5、AlexNet和VGGNet)
参考文章
- 吴恩达——《神经网络和深度学习》视频课程