• 深度学习入门笔记(四):向量化


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    深度学习入门笔记(四):向量化

    1、向量化

    向量化 是非常基础的去除代码中 for 循环的艺术。为什么要去除 for 循环?

    当在深度学习安全领域、深度学习实践中应用深度学习算法时,会发现在代码中显式地使用 for 循环使算法很低效,同时在深度学习领域会有越来越大的数据集,因为深度学习算法处理大数据集效果很棒,所以代码运行速度非常重要,否则如果在大数据集上,代码可能花费很长时间去运行,你将要等待非常长的时间去得到结果。所以算法能应用且没有显式的 for 循环是很重要的,并且会帮助你适用于更大的数据集。所以在深度学习领域这里有一项叫做向量化的技术,是一个关键的技巧,它可以允许你的代码摆脱这些显式的 for 循环,举个栗子说明什么是向量化。

    在逻辑回归中,需要去计算 z=wTx+bz={{w}^{T}}x+b,其中 wwxx 都是列向量。如果有很多的特征,那么就会有一个非常大的向量,所以 wRnxwin {{mathbb{R}}^{{{n}_{x}}}} , xRnxxin{{mathbb{R}}^{{{n}_{x}}}},那么如果想使用非向量化方法去计算 wTx{{w}^{T}}x,就需要用如下方式(基于 python 编程实现):

    z = 0
    for i in range(n_x):
        z += w[i] * x[i]
    z += b
    

    这是一个非向量化的实现,实践之后,你会发现这个是真的很慢,,,作为对比,向量化的实现将会非常直接计算 wTx{{w}^{T}}x,代码如下:

    z = np.dot(w, x) + b
    

    这是向量化方式进行计算 wTx{{w}^{T}}x 的方法,你会发现这个非常快,尤其是对比之前的非向量化的实现。

    让我们用一个小例子说明一下,在我的我将会写一些代码(以下为教授在他的Jupyter notebook上写的Python代码,)

    import time  # 导入时间库
    import numpy as np  # 导入numpy库
    
    
    a = np.array([1, 2, 3, 4])  # 创建一个数据a
    print(a)
    # [1 2 3 4]
    
    a = np.random.rand(1000000)
    b = np.random.rand(1000000)  # 通过round随机得到两个一百万维度的数组
    tic = time.time()  # 现在测量一下当前时间
    
    # 向量化的版本
    c = np.dot(a, b)
    toc = time.time()
    print("Vectorized version:" + str(1000 * (toc - tic)) + "ms")  # 打印一下向量化的版本的时间
    
    # 继续增加非向量化的版本
    c = 0
    tic = time.time()
    for i in range(1000000):
        c += a[i] * b[i]
    toc = time.time()
    print(c)
    print("For loop:" + str(1000 * (toc - tic)) + "ms")  # 打印for循环的版本的时间
    

    运行结果见下图:
    在这里插入图片描述
    在上面的代码中,使用两个方法——向量化和非向量化,计算了相同的值,其中向量化版本花费了0.968毫秒,而非向量化版本的 for 循环花费了327.997毫秒,大概是300多倍,准确倍数是 338.840 倍。仅仅在这个自己举的例子中,都可以明显看到效果。这意味着如果向量化方法需要花费一分钟去运行的数据,使用 for 循环将会花费5个小时去运行。

    一句话总结,向量化快!!!

    2、深入理解向量化

    通过 numpy内置函数避开显式的循环(loop) 的方式进行向量化,从而有效提高代码速度。根据经验,在写神经网络程序时,或者在写 逻辑(logistic)回归 时,或者在写其他神经网络模型时,应该避免写 循环(loop) 语句。虽然有时写 循环(loop) 是不可避免的,但是如果可以使用其他办法去替代计算,程序效率总是更快。

    来看另外一个例子。如果想计算向量 u=Avu=Av,这时根据矩阵乘法的定义,有 ui=jAijviu_{i} =sum_{j}^{}{A_{ ext{ij}}v_{i}}

    • 非向量化方法:用 u=np.zeros(n,1)u=np.zeros(n,1), 然后通过两层循环 for(i):for(j):for(i): for(j):,可以得到:

    u[i]=u[i]+A[i][j]v[j]u[i]=u[i]+A[i][j]*v[j]

    • 向量化方法:用 u=np.dot(A,v)u=np.dot(A,v)

    吴恩达老师手写稿如下:
    在这里插入图片描述


    下面通过另一个例子继续了解向量化。如果有一个向量 vv,并且想要对向量 vv 的每个元素做指数操作。

    • 非向量化方法:初始化向量 u=np.zeros(n,1)u=np.zeros(n,1),然后通过循环依次计算每个元素 viv^{i}
    • 向量化方法:通过 pythonnumpy 内置函数,执行 u=np.exp(v)u=np.exp(v) 命令

    numpy 库有很多向量函数,比如 u=np.log 是按元素计算对数函数(loglog)、 np.abs() 是按元素计算数据的绝对值函数、np.maximum(v, 0) 是按元素计算 vv 中每个元素和和0相比的最大值,v**2 是按元素计算元素 vv 中每个值的平方、 1/v 是按元素计算 vv 中每个元素的倒数等等。

    PS:当想写循环时,检查 numpy 是否存在类似的内置函数。

    吴恩达老师手写稿如下:
    在这里插入图片描述
    希望你现在有一点向量化的感觉了,减少一层循环可以使代码更快一些!!!

    3、向量化逻辑回归

    如何实现逻辑回归的向量化计算?只要实现了,就能处理整个数据集了,甚至不会用一个明确的 for 循环,听起来是不是特别地 inspiring。

    先回顾一下逻辑回归的前向传播,现有 mm 个训练样本,然后对第一个样本进行预测,z(1)=wTx(1)+bz^{(1)}=w^{T}x^{(1)}+b;激活函数 a(1)=σ(z(1))a^{(1)}=sigma (z^{(1)});计算第一个样本的预测值 yy。然后对第二个样本进行预测,第三个样本,依次类推。。。如果有 mm 个训练样本,可能需要这样重复做 mm 次。可不可以不用任何一个明确的 for 循环?

    首先,定义一个 nxn_xmm 列的矩阵 XX 作为训练输入(如下图中蓝色 XX),numpy 形式为 (nx,m)(n_{x}, m)

    吴恩达老师手稿如下:
    在这里插入图片描述
    前向传播过程中,如何计算 z(1)z^{(1)}z(2)z^{(2)}, ……一直到 z(m)z^{(m)}?构建一个 1×m1 imes m 的行向量用来存储 zz,这样可以让所有的 zz 值都同一时间内完成。实际上,只用了一行代码。即 [z(1),z(2),...,z(m)]=wTX+[b,b,...,b]=[wTx(1)+b,wTx(2)+b...wTx(m)+b][z^{(1)}, z^{(2)}, ..., z^{(m)}]=w^{T}X+[b, b, ..., b]=[w^{T}x^{(1)}+b,w^{T}x^{(2)}+b...w^{T}x^{(m)}+b]。为什么 ww 要转置呢?

    希望你尽快熟悉矩阵乘法,因为矩阵乘法的要求中有一条是,两个矩阵相乘,左面矩阵的列数需要等于右面矩阵的行数,XX 也是 (nx,m)(n_{x}, m)ww 也是 (nx,1)(n_{x}, 1),而 wTw^T(1,nx)(1, n_{x}),正好符合 wTX+bw^T X + b 的公式,且保证了矩阵乘法的条件。其中 wTx(1)+bw^{T}x^{(1)}+b 这是第一个元素,wTx(2)+bw^{T}x^{(2)}+b 这是第二个元素, …, wTx(m)+bw^{T}x^{(m)}+b 这是第 mm 个元素。分别与 z(1)z^{(1)}, z(2)z^{(2)}, …对应。所以,XX 是一次获得的一次获得全部。

    但是细心的你会发现,为了计算 wTX+[b,b,...,b]w^{T}X+[b, b, ..., b],使用 numpy 命令 Z=np.dot(w.T,X)+bZ=np.dot(w.T,X)+b。这里有一个巧妙的地方,np.dot(w.T,X)np.dot(w.T,X) 是一个1×m1 imes m 的矩阵,而 bb 是一个实数,或者可以说是一个 1×11 imes 1 的矩阵,那么如何把一个向量加上一个实数?

    这里简单说一下:Python 自动地把实数 bb 扩展成一个 1×m1 imes m 的行向量,只有这样才能进行矩阵相加(矩阵相加需要两个矩阵等大小)。这个操作似乎有点不可思议,它在 Python 中被称作 广播(brosdcasting),目前你不用对此感到顾虑,这在博客——深度学习入门笔记(五):神经网络的编程基础中会详细讲解!

    现在说一下字母规范:大写的 ZZ 是一个包含所有小写 z(1)z^{(1)}z(m)z^{(m)}1×m1 imes m 的矩阵,而大写 AA 则是包含所有小写 a(1)a^{(1)}a(m)a^{(m)}1×m1 imes m 的矩阵。

    简单小结一下,不要 for 循环,利用 mm 个训练样本使用向量化的方法,一次性计算出 ZZAA

    Z=wTX+bZ = w^TX + b

    A=σ(Z)A=sigma (Z)

    4、向量化逻辑回归的梯度输出

    注:本节中大写字母代表向量,小写字母代表元素

    如何 同时 计算 mm 个数据的梯度,并且实现一个非常高效的 逻辑回归算法(Logistic Regression)

    之前在讲梯度计算的时候(深度学习入门笔记(二):神经网络基础),列举过几个例子, dz(1)=a(1)y(1)dz^{(1)}=a^{(1)}-y^{(1)}, dz(2)=a(2)y(2)dz^{(2)}=a^{(2)}-y^{(2)}, ……等等一系列类似公式。不过当时是单样本数据计算,现在对 mm 个数据做同样的计算,可以照着上一章讲过的,定义一个新的变量 dZ=[dz(1),dz(2)...dz(m)]dZ=[dz^{(1)} ,dz^{(2)} ... dz^{(m)}],每一个样本的 dzdz 横向排列,就可以得到一个 1×m1 imes mdZdZ 矩阵了。

    A=[a(1),a(2),...,a(m)]A=[a^{(1)},a^{(2)}, ..., a^{(m)}] 我们已经知道计算方法了,那么就差一个 Y=[y(1),y(2),...,y(m)]Y=[y^{(1)}, y^{(2)}, ..., y^{(m)}],然后就可以计算 dZ=AY=[a(1)y(1),a(2)y(2),...,a(m)y(m)]dZ=A-Y=[a^{(1)}-y^{(1)}, a^{(2)}-y^{(2)}, ..., a^{(m)}-y^{(m)}],刚好分别对应 dz(1)dz^{(1)}dz(2)dz^{(2)},……

    开始向量化逻辑回归的梯度输出:

    首先是

    db=1mi=1mdz(i)db=frac{1}{m}sum_{i=1}^{m}dz^{(i)}

    向量化代码如下:

    db=1mnp.sum(dZ)db=frac{1}{m}*np.sum(dZ)

    接下来是

    dw=1mXdzTdw=frac{1}{m}*X*dz^{T}

    其中,XX 是一个行向量。因此展开后是

    dw=1m(x(1)dz(1)+x(2)dz(2)+...+xmdzm)dw=frac{1}{m}*(x^{(1)}dz^{(1)}+x^{(2)}dz^{(2)}+...+x^{m}dz^{m})

    向量化代码如下:

    db=1mnp.sum(dZ)db=frac{1}{m}*np.sum(dZ)

    dw=1mXdzTdw=frac{1}{m}*X*dz^{T}

    这样,就避免了在训练集上使用 for 循环。对比之前实现的逻辑回归,可以发现,没有向量化是非常低效的,代码量还多。。。

    翻新后的计算如下:

    Z=wTX+b=np.dot(w.T,X)+bZ = w^{T}X + b = np.dot( w.T,X)+b

    A=σ(Z)A = sigma( Z )

    dZ=AYdZ = A - Y

    dw=1mXdzT {{dw} = frac{1}{m}*X*dz^{T} }

    db=1mnp.sum(dZ)db= frac{1}{m}*np.sum( dZ)​


    w:=wadww: = w - a*dw

    b:=badbb: = b - a*db

    前五个公式完成了前向和后向传播,后两个公式进行梯度下降更新参数。

    最后的最后,终于得到了一个高度向量化的、非常高效的逻辑回归的梯度下降算法,是不是?

    推荐阅读

    参考文章

    • 吴恩达——《神经网络和深度学习》视频课程
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