什么？贝塞尔曲线竟然可以用来描摹心仪的小姐姐！

什么是贝塞尔曲线？

​ 贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

​ 贝塞尔曲线具有很多特殊的性质，在一些领域比如图形设计中应用十分广泛，贝塞尔曲线完全由其控制点决定其形状,　ｎ个控制点对应着ｎ－１阶的贝塞尔曲线，并且可以通过递归的方式来绘制。

一阶曲线

一阶曲线很好理解, 就是根据t来的线性插值. $P^0$表示的是一个向量$(x,y)$, 其中$x$和$y$是分别按照这个公式来计算的。
$$B^1(t)=(1-t)P^0+t{P}^1,t\in [0,1]$$
可以看到，一阶曲线是一条直线。

二阶曲线

既然前面提到递归，那么二阶必然和一阶有关系，

在平面上三个不共线的三点，依次用线段连接，分别取$P^a$和$P^b$两点，使得$P^0{P}^a:P^a{P}^1=P^1{P}^b:P^b{P}^2=t$，此时$P^a{P}^b$又是一条直线，可以按照一阶方式来插值了：
$$P^a=(1-t)P^0+t{P}^1$$

$$P^b=(1-t)P^1+t{P}^2$$

$$B^2(t)=(1-t)P^a+t{P}^b=(1-t{)}^2{P}^0+2t(1-t)P^1+t^2{P}^2,t\in [0,1]$$

三阶曲线

二阶的贝塞尔通过在控制点之间再采点的方式实现降阶, 每一次选点都是一次的降阶，三阶的也是同理：

这样通过给定的离散点就能确定它们之间的插值曲线了。

钢笔工具

贝塞尔曲线在图形设计的应用中，最典型的就是Photoshop中的钢笔工具。如下，中间一个节点，两边两个手柄，调节手柄的方向可以控制曲线的走向，调节手柄的长度可以控制曲线的弧度，也就是调节$t$的过程。

熟练运用之后就能绘制复杂的图形，然后上色即可。

使用python绘制图像

到这里开始切入正题了，前面提到既然贝塞尔曲线可以通过公式表示，那么一定可以通过python实现自动化操作。整体的思路就是给定一个位图图像，然后将其矢量化以保存矢量路径，然后读取路径使用贝塞尔曲线勾勒填充就可以了。

位图矢量化

位图与矢量图的一大区别就是位图图像进行处理，放大后会出现方块状，图片属于真彩色，图片会失真。位图图像善于重现颜色的细微层次，能够制作出色彩和亮度变化丰富的图像，可逼真地再现这个世界，文件庞大，不能随意缩放。矢量图中保存的是线条和图块的信息，也就是所谓的路径，在python中可以借助Potrace模块来完成矢量化的操作。

定义贝塞尔曲线

根据前面的知识定义贝塞尔曲线比较简单，这里使用粗暴的函数嵌套方式，感兴趣的可以另外改善。

对于复杂的图像我们一般使用三阶以上的曲线描摹，需要定义类似于画笔的操作，即绘制曲线至(x,y)点，

然后就是其他的线条操作。

绘图

前面位图中存取了路径信息，我们只需要根据相应的路径使用相应的绘制操作即可，如下

整个绘图过程可以采用python中的turtle模块，完成动画，整个过程约二三十分钟，一气呵成，用来描摹心仪的小姐姐最合适不过～，下面放上小姐姐的照片，

然后经过简单的剪辑配乐，就可以做成日常逗人开心的小视频了，点击下面链接即可观看，

用python画出南方菇凉～

代码链接：draw-picture-with-turtle