（1）放苹果：M个同样的苹果放N个同样的盘子，允许有盘子空着, 问有多少种放法。
注意：5 1 1和1 5 1是同一种放法
分析：
分两种情况：
a.至少有一个盘子为空。此时放法种数与减去这个空盘子的放法种数相同。
b.所有盘子都不为空。此时可以从每个盘子里拿掉一个苹果而不影响放法种数。
显然m<n时，只能满足第一种情况.
很好的算法： f(m, n) = f(m-n, n) + f(m, n-1)
f(m, n): 把m个苹果放到n个盘子中的方法数 f(m, n-1): 把m个苹果放到n-1个盘子中的方法数(其中至少有一个空盘子) f(m-n, n): 把m个苹果放到n个盘子中,而且每个盘子中都有苹果(先拿n个出来,等m-n个放好了,然后每个盘子放一个)
1 int PlaceApple(int m, int n) 2 { 3 if(m < 0) 4 return 0; 5 if(m == 0) //每个盘子一个 6 return 1; 7 if(n == 1) //只有一个盘子 8 return 1; 9 return PlaceApple(m - n, n) + PlaceApple(m, n - 1); 10 }
（2）计算3个A，2个B可以组成多少种排列的问题（如：AAABB, AABBA）是《组合数学》的研究领域。但有些情况下，也可以利用计算机计算速度快的特点通过巧妙的推理来解决问题。下列的程序计算了m个A，n个B可以组合成多少个不同排列的问题。请完善它。
int f(int m, int n) { if(m==0 || n==0) return 1; return f(m-1, n) + f(m, n-1); }
分析：首先明确这个函数的功能是：求m个A和n个B可以组成多少种排列。
此时分两种情况： a.排列的第一个元素是A。 b.排列的第一个元素是B。
把这两种情况的排列种数加起来即可.
（3）某布袋中有红球m个，白球n个，现在要从中取出x个求，红球数目多于白球的数目的概率是多少。下面的代码解决这个问题，其中y表示红球至少要出现的次数。
分析：明确函数的定义：求m个红球、n个白球的布袋中取出x个球，红球数目大于白球的概率。注意到m/(m+n)表示取出的球是红球的概率，n/(m+n)表示取出的球是白球的概率。现在从布袋中取一个球出来
有两种情况：
a.取出的是红球
b.取出的是白球.
然后根据不同的情况判断m、n、x、y的变化。
1 代码： 2 //m个红球，n个白球，从中取出x个求，y表示红球至少要出现的次数 3 double f( int m, int n, int x,int y) 4 { 5 if(y>x) return 0; 6 if(y==0) return 1; 7 if(y>m) return 0; 8 if(x-n>y) return 1; 9 /* 10 m/(m+n)表示第一次选红球，随后的就重复了 11 */ 12 double p1 = f(m-1,n,x-1,y-1); 13 double p2 = f(m,n-1,x-1,y); 14 return (double)m/(m+n)*p1+(double)n/(m+n)*p2; 15 }
4）假设有m+n个人，其中，m个人手持面额为5角的硬币，n个人手持面额为1元的硬币，他们都要乘车买票，现假设售票员手中无零钞，票价为5角，下面这个函数就可以算出这m+n个人所有可能的买票情况（顺利
完成购票过程的购票次序的种类数），请完善此函数 int f(int m, int n) { if(m < n) return 0; if(n==0) return
1; return f(m-1 , n) + f( m , n-1) ;}
一般的想法是从前往后发现规律，但这题确是从后考虑。
分两种情况：
（1）最后一个上车的，持有1元硬币。 前m+n-1个人有：f(m,n-1)
（2）最后一个上车的，持有0.5元硬币。 前m+n-1个人有：f(m-1,n)
（5）整数划分
如，对于正整数n=6，可以分划为：
6
5+1
4+2, 4+1+1
3+3, 3+2+1, 3+1+1+1
2+2+2, 2+2+1+1, 2+1+1+1+1
1+1+1+1+1+1+1
总共有十一种划分，求一个数总共有多少种这样的划分。
根据n和m的关系，考虑以下几种情况：
（1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};
(2) 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};
(3) 当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：
(a). 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；
(b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。
因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);
(4) 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);
(5) 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：
(a). 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分
个数为f(n-m, m);
(b). 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);
因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);
综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。而情况（5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：
f(n, m)= 1; (n=1 or m=1)
f(n, n); (n<m)
1+ f(n, m-1); (n=m)
f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m)