一.问题描述
亚洲微软研究院所在的希格玛大厦一共有6部电梯。在高峰时间，每层都有人上下，电梯每层都停。实习生小飞常常会被每层都停的电梯弄的很不耐烦，于是他提出了这样一个办法： 由于楼层并不算太高，那么在繁忙的上下班时间，每次电梯从一层往上走时，我们只允许电梯停在其中的某一层。所有乘客从一楼上电梯，到达某层后，电梯停下来，所有乘客再从这里爬楼梯到自己的目的层。在一楼的时候，每个乘客选择自己的目的层，电梯则计算出应停的楼层。
问：电梯停在哪一层楼，能够保证这次乘坐电梯的所有乘客爬楼梯的层数之和最少？
二.算法描述
方法一：暴力枚举，时间复杂度O(N^2)
1 /* 2 * O(N^2) 3 */ 4 const int N = 5; 5 int num[N+1]; 6 int ans; 7 int min = INT_MAX; 8 9 for(i = 1;i<=N;i++) 10 { 11 int sum = 0; 12 for(j = 1;j<=N;j++) 13 { 14 sum += num[j] * abs(j - i); 15 } 16 if(sum < min) 17 { 18 min = sum; 19 ans = i; 20 } 21 return (ans); 22 }
方法二：书上提供的O(N)的动态规划的算法。
假设电梯停在i层楼，可以计算出所有乘客要爬楼层的层数为Y,假设此时有N1个乘客在i层楼以下，N2个乘客在I层楼，N3个乘客在I层楼以上，则当电梯停在i+1层的时候，N1+N2个乘客要多下一层楼，共多下N1+N2层，N3个乘客要少往上面爬一层楼，少上N3层楼，此时Y(i+1) = Y(i) + N1+N2-N3，很显然，当N1+N2<N3的时候，Y不断减小。Y1很容易算出来，另外我们还可以看出，N1+N2是递增的，N3是递减的，所以N1+N2一旦大于N3的时候，我们直接退出循环即可，没有必要再计算下去了。
1 /* 2 O(N) dp 3 */ 4 #include <iostream> 5 #include <cstring> 6 using namespace std; 7 8 const int N = 5; 9 int num[N+1]; 10 11 int solve() 12 { 13 int ans = 1; 14 int min = 0; 15 int N1 = 0,N2 = num[1],N3 = 0; 16 for(int i = 2;i<=N;i++) 17 { 18 //由于只要最小值即可，所以不必用数组保存；使用数组时不用知道N1+N2 < N3)就行 19 min += num[i] * (i-1); 20 N3 +=num[i]; 21 } 22 23 for(int i = 2;i<=N;i++) 24 { 25 if(N1+N2 < N3) 26 { 27 ans = i; 28 min +=(N1+N2-N3); 29 30 N1 +=N2; 31 N2 = num[i]; 32 N3 -=num[i]; 33 } 34 else 35 break; 36 } 37 return ans; 38 } 39 40 int main() 41 { 42 int i,j,k; 43 num[1] = 6; 44 num[2] = 2; 45 num[3] = 4; 46 num[4] = 9; 47 num[5] = 8; 48 int ans = solve(); 49 cout<<ans<<endl; 50 while(1); 51 return 0; 52 } 53
方法三：中位数
其实这道题目仔细分析起来就是求一组数据的中位数而已。假设两人，分别到3层楼和8层楼下，在3和8之间取一点，使得到两个点距离最小，很显然，在3和8中的每一点到3和8的距离之和都是相等的。推广到2 3
5 5 6 7 8 8 9这样一组数据，ans为中位数。
数组a存储下标，数组b存储相应人数，按b从小到大排序并交换a（或者用结构体），最后的中位数是不对的
1 /* 2 * mid_value 3 */ 4 // 这种方法貌似是对的 5 #include <iostream> 6 #include <cstring> 7 using namespace std; 8 9 const int N = 5; 10 int num[N+1]; 11 12 int solve() 13 { 14 int left = 1,right = N; 15 while(right-left >= 1) 16 { 17 while(num[left] == 0)left++; 18 num[left] --; 19 while(num[right] == 0)right--; 20 num[right] --; 21 } 22 return left; 23 } 24 25 int main() 26 { 27 int i,j,k; 28 num[1] = 6; 29 num[2] = 2; 30 num[3] = 4; 31 num[4] = 9; 32 num[5] = 8; 33 int ans = solve(); 34 cout<<ans<<endl; 35 while(1); 36 return 0; 37 }
三.结束语
扩展问题:往上爬一层要耗费K个单位的能量，往下走耗费1个单位的能亮，只需要计算N1+N2-N3变成N1+N2-N3*K即可。其余的都是一样的。
扩展问题:2个有序数组求合并后的中位数，貌似是算法导论上的，有空再写……
你让我安心什么什么，说话却吞吞吐吐，岂非存心让我不安