UOJ450 复读机

题意：n个位置，k种颜色。求有多少种方案使得每种颜色恰出现d的倍数次。

解：d=1就快速幂，n，k很小就DP，记得乘组合数来分配位置。

d = 2 / 3的时候，考虑生成函数。

f(x) = ∑[d | i] / (i!)

然后发现d = 2的时候就是(e^x + e^-x) / 2，这个东西的k次方可以用二项式定理展开，然后O(klogn)算，log是快速幂。

d = 3的时候用单位根反演，O(k²)枚举系数，同样算。因为我不想学单位根反演就没写...

#include <bits/stdc++.h>

typedef long long LL;

const int N = 500010, MO = 19491001;

int n, k, d;

inline int qpow(int a, int b) {
    int ans(1);
    while(b) {
        if(b & 1) {
            ans = (LL)ans * a % MO;
        }
        a = (LL)a * a % MO;
        b = b >> 1;
    }
    return ans;
}

namespace DP {
    int f[110][1010], C[1010][1010];
    inline void solve() {
        f[0][0] = 1;
        for(int i = 0; i <= 1000; i++) {
            C[i][0] = C[i][i] = 1;
            for(int j = 1; j < i; j++) {
                C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % MO;
            }
        }
        for(int i = 0; i < k; i++) {
            for(int j = 0; j <= n; j++) {
                for(int p = 0; j + p <= n; p += d) {
                    (f[i + 1][j + p] += (LL)f[i][j] * C[n - j][p] % MO) %= MO;
                }
            }
        }
        printf("%d
", f[k][n]);
        return;
    }
}

namespace D2 {

    int fac[N], inv[N], invn[N];

    inline int C(int n, int m) {
        if(n < 0 || m < 0 || n < m) return 0;
        return (LL)fac[n] * invn[m] % MO * invn[n - m] % MO;
    }

    inline void solve() {
        fac[0] = inv[0] = invn[0] = 1;
        fac[1] = inv[1] = invn[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= k; i++) {
            fac[i] = (LL)fac[i - 1] * i % MO;
            inv[i] = (LL)inv[MO % i] * (MO - MO / i) % MO;
            invn[i] = (LL)invn[i - 1] * inv[i] % MO;
        }
        
        int ans = 0;
        for(int i = 0; i <= k; i++) {
            ans += (LL)C(k, i) * qpow(2 * i - k, n) % MO;
            ans %= MO;
        }
        int temp = qpow((MO + 1) / 2, k);
        
        printf("%lld
", ((LL)temp * ans % MO + MO) % MO);
        return;
    }
}

int main() {

    scanf("%d%d%d", &n, &k, &d);
    if(d == 1) {
        printf("%d
", qpow(k, n));
        return 0;
    }
    if(n <= 1000 && k <= 100) {
        DP::solve();
        return 0;
    }
    if(d == 2) {
        D2::solve();
        return 0;
    }
    return 0;
}