题目链接：
不同的二叉查找树：http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/unique-binary-search-trees/
不同的二叉查找树 II：http://www.lintcode.com/zh-cn/problem/unique-binary-search-trees-ii/
不同形态二叉树的数目：
样例
给出n = 3，有5种不同形态的二叉查找树：
1 3 3 2 1
/ / /
3 2 1 1 3 2
/ /
2 1 2 3分析
可以分析，当n=1时，只有1个根节点，则只能组成1种形态的二叉树，令n个节点可组成的二叉树数量表示为h(n)，则h(1)=1; h(0)=0;
当n=2时，1个根节点固定，还有2-1个节点。这一个节点可以分成（1,0），（0,1）两组。即左边放1个，右边放0个；或者左边放0个，右边放1个。即：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=2，则能组成2种形态的二叉树。
当n=3时，1个根节点固定，还有2个节点。这2个节点可以分成（2,0），（1,1），（0,2）3组。即h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=5，则能组成5种形态的二叉树。
以此类推，当n>=2时，可组成的二叉树数量为h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)种，即符合Catalan数的定义，可直接利用通项公式得出结果。
令h(1)＝1,h(0)=1，catalan数（卡特兰数）满足递归式：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
另类递归式：
该递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
由此想到了上次说的"N个数依次入栈，出栈顺序有多少种？", 同样用的也是卡特兰数。
http://www.cnblogs.com/hujunzheng/p/4845354.html
代码
class Solution { public: /** * @paramn n: An integer * @return: An integer */ long long C(int n, int m){ n = n-m+1; long long ans = 1; for(int i=1; i<=m; ++i){ ans *= n++; ans /= i; } return ans; } int numTrees(int n) { // write your code here return C(2*n, n)/(n+1); } };
构建不同形态二叉树：
样例
给出n = 3，生成所有5种不同形态的二叉查找树：
1 3 3 2 1
/ / /
3 2 1 1 3 2
/ /
2 1 2 3其实通过样例，我们可以发现n个结点构造不同形态二叉树的过程，1,2,3.....n个结点，枚举每一个结点为根结点(假设为root， 1<=root<=n), 那么(1,2..root-1)和(root+1, root+2...n)分别是root的左右子树。每一步不断地重复上述过程，最终会得到所有形态的二叉树。
算法实现
先弱弱的说一下自己错误的实现，因为递归实现的时候会得到不同的二叉树，那么如何判断n个结点正好生成了二叉树呢？于是用了一个变量useNode(=0)，表示当前已经用了多少个结点建树。当useNode等于n的时候说明产生了一棵符合要求的树，接着拷贝一下刚才生成的树，然后放入vector中，继续建造下一棵符合条件的二叉树。
错误代码：
/** * Definition of TreeNode: * class TreeNode { * public: * int val; * TreeNode *left, *right; * TreeNode(int val) { * this->val = val; * this->left = this->right = NULL; * } * } */ class Solution { public: /** * @paramn n: An integer * @return: A list of root */ vector<TreeNode *> ans; int cntNode=0;//节点的总数 TreeNode *curRoot = NULL; void copyT(TreeNode * &tmp, TreeNode *T){ if(T){ tmp = new TreeNode(T->val); copyT(tmp->left, T->left); copyT(tmp->right, T->right); } } void buildT(TreeNode * &T, int ld, int rd, int useNode){ if(ld > rd) return; for(int root=ld; root<=rd; ++root){ T = new TreeNode(root); if(ld==1 && rd==cntNode) curRoot = T; if(useNode+1==cntNode){//这个树已经建立完毕，拷贝一下吧 TreeNode *tmp = NULL; copyT(tmp, curRoot); ans.push_back(tmp); } buildT(T->left, ld, root-1, useNode+1); buildT(T->right, root+1, rd, useNode+root-ld+1); } } vector<TreeNode *> generateTrees(int n) { // write your code here cntNode = n; TreeNode *T = NULL; buildT(T, 1, n, 0); if(n == 0) ans.push_back(T); return ans; } };
后来运行之后，看到错误的答案与正确答案的对比，如下：
当n=4的时候
输出
[{1,#,2,#,3,#,4},{1,#,2,#,4,3},{1,#,3,2,4},{1,#,4,2,#,#,3},{1,#,4,3,#,2},{2,1,3,#,#,#,4},{2,1,4,#,#,3},{3,2,4,1},{4,1,#,#,2,#,3},{4,1,#,#,3,2},{4,2,#,1,3},{4,3,#,1,#,#,2},{4,3,#,2,#,1}]
期望答案
[{1,#,2,#,3,#,4},{1,#,2,#,4,3},{1,#,3,2,4},{1,#,4,2,#,#,3},{1,#,4,3,#,2},{2,1,3,#,#,#,4},{2,1,4,#,#,3},{3,1,4,#,2},{3,2,4,1},{4,1,#,#,2,#,3},{4,1,#,#,3,2},{4,2,#,1,3},{4,3,#,1,#,#,2},{4,3,#,2,#,1}]
也就是少了{3,1,4,#,2}，以3为根结点的二叉树为什么会少了呢？仔细想想，3结点的左孩子可以是1，也可以是2，那么左孩子为1的情况就被忽略了，此时useNode并不等于n，然后就换成左孩子为2结点的情况了。
正确代码：
/** * Definition of TreeNode: * class TreeNode { * public: * int val; * TreeNode *left, *right; * TreeNode(int val) { * this->val = val; * this->left = this->right = NULL; * } * } */ class Solution { public: /** * @paramn n: An integer * @return: A list of root */ vector<TreeNode *> buildT(int ld, int rd){ vector<TreeNode *> ans; if(ld == rd) { TreeNode *T = new TreeNode(ld); ans.push_back(T); return ans; } if(ld > rd){ ans.push_back(NULL); return ans; } for(int i=ld; i<=rd; ++i){ vector<TreeNode *> ansLeft = buildT(ld, i-1); vector<TreeNode *> ansRight = buildT(i+1, rd); for(auto lx : ansLeft) for(auto rx : ansRight){ TreeNode *T = new TreeNode(i); T->left = lx; T->right = rx; ans.push_back(T); } } return ans; } vector<TreeNode *> generateTrees(int n) { // write your code here vector<TreeNode *> ans = buildT(1, n); return ans; } };
分析：在确定当前结点X后，那么X的左孩子结点（或右孩子结点）可能会有多个，那么就把这些可能的结点都存到vector中，然后从左孩子集合中任选出lx结点，以及从右孩子集合中选出rx结点，那么lx和rx就确定了一种形态的二叉树。