整数离散化 && 区间合并

离散化

• 将一个值域很大，但是分布很稀疏的数列压缩映射到一个更小的数组当中，后面处理时可以大大减小复杂度
• 保序的离散化
• 需要考虑两个问题：
  • 原数组中可能有重复元素
  • 如何快速算出x离散化后的值，二分

区间和

//将一个值域很大，但是分布很稀疏的数列压缩映射到一个更小的数组当中，后面处理时可以大大减小复杂度
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 300010;

int n, m;
int a[N], s[N]; 

vector<int> alls;//存储所有需要离散化的值
vector<PII> add, query;

//将x映射到新的稠密数组的一个位置；
int find(int x) {
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while(l < r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if(alls[mid] >= x) r = mid; //二分取左边界
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i < n; i ++ ) {
        int x, c;
        cin >> x >> c;
        //读入所有需要做的插入操作
        add.push_back({x, c});
        //读入需要操作的数
        alls.push_back(x);
    }
    
    for(int i = 0; i < m; i++){
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        //读入所有查询操作
        query.push_back({l,r});
        //将所有查询操作需要用到的下标存储下来
        alls.push_back(l);
        alls.push_back(r);
    }
    
    //对存储了下标的数组进行去重
    sort(alls.begin(), alls.end());
    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());
    
    //处理插入操作
    for(auto item : add) {
        int x = find(item.first);//获取x映射到新数组后的下标
        a[x] += item.second;//给位置x上的数加c
    }
    
    //预处理前缀和
    for(int i = 1; i <= alls.size(); i ++ ) s[i] = s[i - 1] + a[i];
    
    //处理询问
    for(auto item : query) {
        int l = find(item.first), r = find(item.second);
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;//前缀和的典型用法
    }
    
    return 0;
}

区间合并

• 常见应用题型为贪心
• 处理步骤：
  • 按照所有区间的左端点排序
  • 扫描所有区间，进行合并，合并时有三种可能的情况，分情况讨论处理

区间合并

//跟区间有关的很多问题思路都是贪心
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 100010;

int n;
vector<PII> segs;

void merge(vector<PII> &segs){
    vector<PII> res;
    
    sort(segs.begin(), segs.end());//pair优先用左端点排序
    
    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for(auto seg : segs)
        if(ed < seg.first) {
            if(st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }
        else ed = max(ed, seg.second);
    
    if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
    
    segs = res;
}

int main() {
    cin >> n;
    
    for(int i = 0; i < n; i ++ ){
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        segs.push_back({l, r});
    }
    
    merge(segs);
    
    cout << segs.size() << endl;
    
    return 0;
}