3、定积分（3）：基本性质
解决了可积性问题，这一篇来介绍除定积分中值定理外的基本性质。
一、运算性质
1、线性性：设$f$、$g in R[a,b]$，$alpha$、$eta in R$，则有
$int_{a}^{b} [alpha f(x) + eta g(x)]dx = alpha int_{a}^{b} f(x) dx + eta int_{a}^{b} g(x) dx$
2、可乘性：设$f$、$g in R[a,b]$，则$fg in R[a,b]$。
证明：由定义，$f$、$g$均有界，则它们有共同界$M$。由于可积，则对于任意$epsilon > 0$，存在分割$Delta$，使$f$、$g$的振幅面积都有
$sum_{i=1}^{n} omega_i Delta x_i < frac{epsilon}{2M}$
在每个小区间上，有
$| f(x_1)g(x_1) - f(x_2)g(x_2) |$
$leq | f(x_1)g(x_1) - f(x_1)g(x_2) | + | f(x_1)g(x_2) - f(x_2)g(x_2) |$
$leq M omega_i (f) + M omega_i (g)$
因此$fg$的振幅面积就有
$sum_{i=1}^{n} omega'_i Delta x_i leq 2·M · frac{epsilon}{2M} = epsilon$
可积性就得到了证明。
注意，这里只是证明了可积，但没有如线性性般给出积分的值。
上面两条性质告诉我们可积性在加减法、乘法下是保持的，但是除法不一定保持；复合也是不一定的。不过关于复合函数仍有以下性质：
3、设$g in R[a,b]$，$f in C(I)$，其中$I$是$g$在$[a,b]$上的值域，则$f(g) in R[a,b]$。
证明是容易的，依靠$f$的一致连续性，加上$g$在区间上的振幅随$lambda(Delta) o 0$而趋于$0$即可。
关于绝对值运算有下面的性质：
4、设$f in R[a,b]$，则$|f| in R[a,b]$，且有
$| int_{a}^{b} f(x) dx | leq int_{a}^{b} |f| dx$
证明：事实上，在任何区间上，$|f|$的振幅都不会超过$f$的振幅，由此可积性立刻得到证明。至于性质的后半部分，考虑两者在$Delta$下的任意黎曼和，我们有：
$| sum_{i=1}^{n} f(xi_i) Delta x_i | leq sum_{i=1}^{n} | f(xi_i) | Delta x_i$
性质也得到了证明。
二、积分性质
讨论下面的性质之前，做一个一般性的规定：对任意$f$、$a$，规定$int_{a}^{a} f(x) dx = 0$。
1、设$a <c < b$，则$f in R[a,b]$的充分必要条件为$f in R[a,c]$且$f in R[c,b]$。可积时，我们有
$int_{a}^{b} f(x) dx = int_{a}^{c} f(x) dx + int_{c}^{b} f(x) dx$
先来证明前半部分：
必要性：尝试去证明$f$在$[a,b]$的任意子区间$[l,r]$上也是可积的。事实上，由于可积，对任意$epsilon > 0$，存在一个分割$Delta$，使得$f$关于其的振幅面积小于$epsilon$，则在$[l,r]$上，这一振幅面积同样也小于$epsilon$，必要性也就得到了证明。
充分性：对于任意$epsilon > 0$，当然存在$[a,c]$的一个分割$Delta_1$、$[c,b]$的一个分割$Delta_2$，使得$f$关于两者的振幅面积都小于$frac{epsilon}{2}$，记$Delta = Delta_1 cup Delta_2$，就有了$f$关于$Delta$的振幅面积小于$epsilon$，充分性也得到了证明。
关于后面的积分等式，只要在充分性证明的基础上，对$Delta_1$、$Delta_2$取黎曼和即可。
如果我们不规定$c$的位置，只是规定$f$在任意一个涉及到的区间上可积，然后做下面形式上的规定：
$int_{b}^{a} f(x) dx = - int_{a}^{b} f(x) dx$
则性质也可以成立。
2、若$f in R[a,b]$，且总有$f(x) geq 0$，则$int_{a}^{b} f(x) dx geq 0$。
证明是容易的，只要考察黎曼和的正负性即可。
这一性质可以推出：若$f$、$g in R[a,b]$，且总有$f geq g$，则$int_{a}^{b} f(x) dx geq int_{a}^{b} g(x) dx$。只要对$f-g$考察积分，再利用线性性即可。
性质2有一个互补的版本：
3、若$f in R[a,b]$，$int_{a}^{b} f(x) dx > 0$，则存在$[a,b]$的子区间$[c,d]$，以及$mu > 0$，使得在$[c,d]$上总有$f(x) geq mu$。
证明：用反证法，假设不存在这样的子区间和正数，则对$[a,b]$的任意子区间$[c,d]$、$mu > 0$，总存在$xi in [c,d]$，使$f(xi) < mu$。对$f$的任意分割$Delta$，其每个小区间上的介点都取这样的点，根据$mu$的任意性，得到的黎曼和非正，则只能有$int_{a}^{b} f(x) dx leq 0$，这与前提是矛盾的。
除了反证法，上一节的达布理论也可以用来证明这一性质（而且几乎直接可得）。
有了性质3，性质2还可以加强：
4、若$f in R[a,b]$，且总有$f > 0$，则$int_{a}^{b} f(x) dx > 0$。
证明：看上去是显然的，然而证明起来不太容易。用反证法假设。由于性质2已经得到证明，反证法假设即是：$int_{a}^{b} f(x) dx = 0$。对于任意的$epsilon > 0$，函数$g(x) = epsilon - f(x)$在$[a,b]$上的积分是$epsilon(b-a) > 0$，由于性质3，则有一个子区间$[c,d]$，使得$epsilon - f > 0$，由于$epsilon$的任意性，可以知道$int_{c}^{d} f(x) dx = 0$。
下面，令$epsilon_1 = frac{epsilon}{2}$，对$[c,d]$重复上面的过程，又找到一个子区间$[e,h]$，不断进行下去，就由于闭区间套定理，得到一个点$xi$，使得$f(xi) leq 0$，这与前提是矛盾的。
上面的闭区间套定理的方法还可以用来证明：
5、若$f in R[a,b]$，则存在$x_0 in (a,b)$，使$f$在$x_0$处连续。
证明：只要构造一个闭区间套趋向某个区间内点，由于区间长度趋于$0$，则根据可积性，在其上的振幅$omega o 0$，进而推出$f$在$x_0$连续。
以上就是关于定积分的若干基本性质。