LG3630 [APIO2010]信号覆盖（计算几何）

LG3630 [APIO2010]信号覆盖

前言

南海都有网络了，怎么北京还要覆盖信号啊

好久以前做的计算几何题了，回来复盘一下。

解法

首先，题目中各有一个条件很重要：

保证任何三个房子都不在同一条直线 上，任何四个房子都不在同一个圆上。

翻译一下，没有四点共圆，没有三点共线。

我们做这道题依赖于这个条件。

首先对于 (A,B,C) 三个点作的外接圆，一定覆盖这三个点，对于任何一个圆都是如此。那我们的答案可以表示为：

[ans=frac{sum}{C_n^3}+3 ]

其中，(C^3_n) 是圆的总数，而 (sum) 是所有圆圆内的点的数的总和。

问题就转化为，如何求 (sum) 呢？

正难则反。

我们可以算每个点在多少个圆内部，对于第 (i) 个点，这个值我们记为 (f_i)。那么 (sum=sumlimits_{i=1}^n f_i)。这样，我们就要考虑确定圆的三个点和点 (i)，也就是四个点。因此我们考虑这四个点组成的四边形。

如果组成凸四边形。 则如下图：

由于没有四点共圆的情况，一定没有对角和为 (180) 的可能。那么以 (A,D,C) 作圆，一定能覆盖 (C)，以 (D,C,B) 作圆，一定覆盖 (A)。所以一个凸四边形对 (sum) 做 (2) 的贡献。

如果组成凹四边形。 则如下图：

显然，只有以 (C,B,D) 作圆才能覆盖 另一个点 (A)，因此一个凹四边形对 (sum) 的贡献是 (1)。

问题再次被我们转化，变为有多少个凸四边形，多少凹四边形。设他们的数量分别为 (x,y)。我们有：

[x+y=C_n^4 ]

我们到底是求 (x)，还是求 (y) 呢？

由于

[sum=2x+y=C_n^4+x ]

我们只需要求出凸多边形数量 (x) 即可。

但是，真的是这样做吗？我们发现这样做其实很难。

凹四边形的数量会比凸四边形数量好求得多。呵呵

如果你仔细想想，就会发现，每个凹四边形都有一个凹角，所以我们要求出凹角数量。我们令凸角数量为 (a)，凹角数量为 (b)，由于每个四边形有四个角，我们有：

[a+b=4cdot C_n^4 ]

又到了熟悉的岔路口，但这一次，我们选择计算凸角数量 (a)。

这个求法非常简单，直接枚举每个点作为原点，其他的点做极角排序。

用双指针扫一下，得到以某一条边为定边的小于 (180) 度的角的个数。即 (i) 为定边，到 (j) 为止的角小于 (180) 度，(j+1) 与 (i) 所夹的角大于 (180) 度。那么这个区间里面的凸角所属四边形有 (C_{j-i+1}^2) 个。

注意要破环为链。

这样我们就求得了 (a)，我们就可以依次求出 (b,y,x,sum,ans)。

最后输出 (ans) 即可。

最后时间复杂度为 (O(n^2log n))。