【题解】CF1054D Changing Array（异或，贪心）

Des

给你一个序列 (a), (0 le a_{i}le2^{k}-1),你可以修改里面的任意元素任意次,修改方法为把序列里的一个数(ai⊕) (2^{k}-1) 其中(⊕)为异或运算,求最多可以构成多少个连续区间([l,r])使得(a_{l}⊕a_{l+1}⊕dotsoplus a_{r-1} ⊕ a_r≠0)

( exttt{Data Range:})

(nle 2 imes 10^5,kle 30).

Sol

最大化异或和不等于 0 这个限制太弱，转成最小化等于 0 的个数就会好做一些。

在每一个位置都可以选择异或上 (2^k-1)，那么对于位置 (i)，(a_1) 到 (a_i) 的不同异或和的数量是 (2^i) 量级的吗？并不是。由于异或的自反性 (aoplus a=0)，所以 (a_1) 到 (a_i) 的异或和只可能有两种不同的值。

令异或前缀和为 (s_i)，对于一个右端点 (r)，会与前面的 (l) 组成一个异或和为 0 的区间当且仅当 (s_{l-1}oplus s_r=0)。那么如果在最终的答案中某一种相同的前缀和有 (m_i) 种，那么产生的异或和为 0 的区间数量就是 (inom{m_i}2)。

我们需要最小化 (sum_{i=1}^pinom{m_i}2)，其中 (p) 为不同的前缀和的数量。

要最小化的是 (sum_{i=1}^pfrac{m_i^2-m_i}2)，而 (sum_{i=1}^pm_i=n)，是一个定值。根据均值不等式，(m_i) 应当尽量平均，才能使 (sum_{i=1}^pfrac{m_i^2-m_i}2) 尽量小。

那么对于一个位置 (i)，设两种前缀和为 (s_{i,1}) 和 (s_{i,2}). 如果 (i) 前面已经有的等于 (s_{i,1}) 的前缀和数量比等于 (s_{i,2}) 的多，就选择 (s_{i,1}) 作为前缀和。反之，选择 (s_{i,2})。这样便能使得 (m_i) 尽量平均。

使用 std::map 即可记录某种前缀和的出现次数。

My code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 2e5 + 5;
int n, add, k, S, a[N];
ll cnt;
map<int, int> m;

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr);
	cin >> n >> k;
	S = (1 << k);
	for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
	m[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		int x = add ^ a[i], y = x ^ (S - 1);
		if(m[x] > m[y]) swap(x, y);
		cnt += m[x]++;
		add ^= a[i];
	}
	cout << 1ll * n * (n + 1) / 2 - cnt << '
';
	
	return 0;
}